Dérivation

[Jessica]

J'ai un exercice à faire mais je n'arrive pas à commencer l'exercice.. J'aurais besoin de votre aide .

on désigne par g la fonction définie sur ]-1;1[ par g(o)=0 et g'(x)= 1 / ( \/¯(1-x²)) où g' désigne la derivée de la fonction g sur ]-1;1[ , on ne cherchera pas à expliciter g(x) .
On considère la fonction composée h définie sur ]-π;0[ par h(x)=g(cosx)

Demontrer que pour tout x de ]-π;0[ on a h'(x)=1 où h' désigne la dérivée de h.
Calculer h(-π/2) puis donner l'expression de h(x) .

Je n'arrive pas à commencer .. Pouvez vous me donner quelques pistes svp ??

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jessica

Voici quelques pistes : \(g(cos(x))^,=g^,(cos(x))\times{(cos(x))^,}\) ; tu connais\(g^,(x)\), remplace x par cos(x).
Tu dois connaître la dérivée de cos(x).
Tu dois aussi connaître la valeur de \(1-cos^2(x)\) déduis-en h'(x).
\(h(\frac{\pi}{2})=g(cos((\frac{\pi}{2})\), conclus.
Si h'(x) = 1 et si tu connais une valeur de h(x) tu peux en déduire la primitive qui convient

Bon courage

[Jessica]

g(cos(x))' = 1/(\/¯(1-cos²(x)) *-sin(x)
et sin²(x) = 1 - cos²(x) mais je n'arrive pas à voir le lien avec la question...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu as \(g(\cos(x))^{,}=-\sin(x)\times\,g^{,}(\cos(x))\), or comme x est dans \(]-\pi,0[\), alors \(\cos(x)\) est dans \(]-1;1[\) donc on peut utiliser la formule définissant g' mais en remplaçant x par \(\cos(x)\) :
\(h^{,}(x)=g(\cos(x))^{,}=-sin(x)\times\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}\)
et là tu réutilises la formule déjà citée en faisant bien attention que \(\sqrt{X^2}=-X\) si \(X<0\)

[Jessica]

Oh merci ! J'ai trouvé ! merci beaucoup !

Concernant la 2eme question : calculer h(-π/2) puis donner l'expression de h(x) . Je n'ai que la dérivée comment je peux calculer alors ?

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
\(h(\frac{-\pi}{2})=g(cos((\frac{-\pi}{2})\) et vous savez que g(0) = 0 donc vous pouvez faire le calcul

De plus quelles sont les fonctions qui ont pour dérivées 1?
Parmi celles là, il faudra trouver celle qui correspond à la valeur calculée plus haut.
Bon courage