Composé de g.o.u

[Quentin]

Bonsoir,

J'ai un exercice pour demain à faire en maths (TES) mais je ne sais pas comment mis prendre car je n'ai pas d'exemple sur lequel m'appuyer, alors j'ai décider de poser mon exercice ici en caressant l'espoir d 'obtenir une réponse qui puisse m'aider. Merci.

http://img145.imageshack.us/img145/1912/img0055gz.jpg


1°a) Expliquer pourquoi la fonction composée f= g o u est définie sur ]- l´infini; 36; +l´infini[

b)Dresser le tableau de variation des variations de la composée f, en précisant les limites.
On justifiera avec soin le sens de variation de f sur ]-l´infini;3[ et la limite en 6.

c)D´après le tableau des variations, indiquer le nombre de solutions de l´équation f(x)=0

2°Soit h la fonction inverse de la fonction u: h=1/u
a)Déterminer l´ensemble de définition de h
b)Étudier les variations de h
c)Déterminer les limites de h aux bornes de son ensemble de définition.Interpréter graphiquement les résultats
d)Dresser le tableau complet des variations de la fonction h

[sos-math(20)]

Bonsoir Quentin,

Le but de ce forum n'est pas de faire l'exercice à votre place.

Vous devez nous dire ce que vous avez commencé à faire pour que l'on puisse vous aider à progresser.

Je suis sûre par ailleurs que vous avez déjà travaillé sur les fonctions composées en cours et il y a sans doute des exemples dans votre livre.

Bon courage.

SOS-math

[Quentin]

Bonsoir et merci de votre réponse,

Effectivement on a déjà travaillé sur les composés de fonction en classe mais pas sous cette forme là, avec un énoncé différent.
J'ai trouvé dans mon manuel un théorème qui m'explique que f'(u)=g'(u(x)) * u'(x)

Ok j'ai le théorème mais après ? L'exemple qu'ils me donnent est tout à fait différent de mon énoncé donc je n'ai quasiment aucun repère.

J'ai tout de même réussi à répondre à la première question.

Amicalement

[sos-math(20)]

Bonsoir Quentin,

Le théorème que vous me donnez n'est pas utilisable ici car on ne connaît pas les expressions de nos fonctions et il n'est donc pas question de calculer la dérivée de f dans cet exercice.

On attend que vous utilisiez un résultat plus général sur le sens de variation des fonctions composées comme par exemple :
" lorsqu'on compose une fonction croissante suivie d'une fonction décroissante on obtient une fonction décroissante " mais il faut faire très attention aux intervalles de départ et d'arrivée pour chaque fonction.

Dans votre exercice : sur l'intervalle \(]-\infty,3[\) la fonction u (qui est la première qui est appliquée puisque f=gou) est décroissante de 1 à 0 ; ensuite il faut regarder ce que fait la fonction g entre 0 et 1 puis conclure quant aux variations de f sur \(]-\infty,3[\).

Bon courage.

SOS-math.

[Quentin]

Bonsoir,

Il est tard et je pense avoir fini mon exercice accroché vous bien !


1°)a)fonction : g : R+ ( [0;+inf[ ) ------------> R
u : R---------------------------->R

Pour que g o u soit définie sur un intervalle I , il faut que l'ensemble de définition de u(I) soit inclu dans l'ensemble de définition de g ; en gros , il ne faut prendre que les intervalles ayant une image positive par u.
Donc ]-infini ; 36;+infini[

b) g est croissante donc elle préserve les variations de la fonction u par composée (la décroissance inverse la variation , la croissance est neutre) donc lorsque u est croissante g(u )est croissante etc

g(u) est donc décroissante sur ]-infini;3[ et croissante en ]6;+infini[
Pour les limites ; lim g(u(x)) = lim g (lim u(x)) ; donc en -infini lim g o u = lim g (lim u(x)) = lim g(-1) = 0
en 3 lim g o u = -inf car lim u(3) = 0 et lim g(0) = -inf ; en 6 lim g o u = -infini en +infini lim g o u= +infini

c) g(x) = 0 seulement pour x=1 ; donc il faut trouver les solution de l'équation u(x) = 1 il n'y a de solution que dans ]-6; +infini [ .

Existence de la solution : g o u est continue sur ]6;+inf[ ; lim g o u en 6 = -infini et en + infini = + infini ; la fonction passe donc de maniere continue de valeurs négatives a positives , le théoreme des valeurs intermediaire ( en gros l'image d'un intervalle fermé orné par une fonction continue est un intervalle fermé borné) dit qu'il existe au moins une solution a g o u (x) = 0 puisque 0 appartient a ]-inf ; +inf [

Par contre au 1er abord je ne vois pas comment on peut déterminer le nombre de solution , car on ne sait pas si la fonction est strictement croissante (dans ce cas une seule solution) ou simplement croissante ( alors on ne peut pas déterminer , juste qu'il y en a au moins une).

2°)a) non définie en 3 et en 6 car u(x) doit etre non nulle pour que 1/u(x) existe.

b) les variation ; sur ]-infini ; 33;4] u(x) est décroissante , cad que a>b => u(a)<u(b) => 1/u(a) > 1/u(b) donc 1/u = h est croissante de meme sur [4;66;+infini[ elle h est décroissante car u(x) est croissante.

c)les lims : en -infini , lim h= lim (1/u) = 1/lim(u) lim(u) = -1 donc lim h = 1/-1 = -1 ;
en 3 ; lim a gauche et a droite sont opposées car le signe de u change(x <3 => u positive x >3 u négative donc le signe e h change aussi) , c'est +infini a gauche et - infini a droite ; en 6 de meme on montre -infini a gauche +infini a droite , en 4 lim h = h(4) car la fonction est continue = -1/2 ; en +infini c'est 0.
interpretation graphiques : lim en -infini = -1 et en +infini = 0 , on a donc des asymptotes horizontale en y=3 et y=0 , et on a des asymptotes verticales aux valeurs interdites x= 3 et x=6.

d)x = -infini------------------------- 3 ----------------------------- 4 --------------------------- 6 ----------------------+infini
--------- -1 croissante ... +infini || - infini croissante ..1/2 décroissante ...... -inf||+inf décroissante 0


J'apprécierai un nouveau commentaire de votre part, merci.
Amicalement

[sos-math(20)]

Bonjour Quentin,

Vous avez fait un bon travail.

Pour la question c), la fonction f est strictement croissante sur \(]6,+\infty[\) et avec la continuité cela assure l'existence d'une seule solution sur cet intervalle à l'équation \(f(x)=0\). On peut la noter a par exemple.

Pour les asymptotes horizontales de la fonction h, on dit d'équations y=1 et y=0 et non en y=1 et y=0.

A bientôt.

SOS-math.