fonction x cube

[anna]

bonsoir

jai un exercice à faire et je n'arrive pas à faire la question 2

1. démontrez que pour tout réel u et v u3-v3 = (u-v)( u²+uv+v²)
ça j'ai fait
(u-v) (u²+uv+v²) = u3+u²v+uv²-u²v-uv²-v3 = u3-V3

2. déduisez en les variations de la fonction f, definie sur R par f(x) = x3 (x au cube)

j'aurais pu utiliser le theorème de rangement
deux nombres quelconques et leur cube sont rangés dans le même ordre donc la fonction f est strictement croissante
mais là je n'utilise pas la question 1

je peux faire
si u<v alors u-v <o
mais je ne vois pas ce que je peux faire avec (u²+uv+v²)
pouvez vous m'aider ?

merci
Anna

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anna,

Compare $u^3$ et $v^3$, pour cela fait la différence, utilise la question 1 et recherche le signe de de $(u^2+uv+ v^2$). Déduis-en que $u^3-v^3$ et $(u - v)$ ont le même signe et conclus pour les variations de la fonction.

Bonne fin d'exercice

[anna]

merci pour votre aide mais je ne comprends pas


u3-v3 = (u-v) ( u²+uv+v²)

je sais que si u<v alors (u-v )<0
mais comment puis je étudier le signe de u²+uv+v² ? comme je sais que la fonction cube est croissante, il faudrait que u<v, u²+uv+v² soit négatif pour que le produit soit positif
c'est là où je bloque, pouvez m'aider encore un peu ?
merci

[anna]

en fait je pense avoir trouvé la réponse

si u<v alors u-v <0

etude du signe de u²+uv+v² sur R-
un carré est toujours positif et le produit de 2 nombres négatifs est toujours positifs donc u²+uv+v² est positif

etude du signe de u²+uv+v² sur R+
un carré est toujours positif et le produit de 2 nombres positifs est toujours positifs donc u²+uv+v² est positif

etude du signe de (u-v) ( u²+uv+v²)
si u<v alors (u-v)<o et ( u²+uv+v²)>0 donc (u-v)( u²+uv+v²) <o donc u3-v3 <o donc u3>v3 donc f est strictment croissante

puisje conclure que si f est croissante sur R- et sur R+ donc f est croissante sur R
mais que se passe-t-il si u et v ne sont pas de même signe ?
merci pour votre aide
anna

[SoS-Math(11)]

Une fonction est croissante si et seulement si f(u) et f(v) sont dans le même ordre que u et v, tu dois avoir $u^3-v^3$ et $u-v$ qui doivent être du même signe

Pour la fonction cube, si u négatif et v positif alors $u^3$ est négatif et $v^3$ est positif donc f(u) et f(v) sont dans le même ordre que u et v.

Si u et v sont de même signe, d'après la question 1, il suffit de connaître le signe de $(u^2+uv+ v^2)$ pour comparer les signes de $u^3-v^3$ et $u-v$ et conclure.
Quel est le signe des trois termes de $(u^2+uv+ v^2)$ , déduis-en le signe de cette somme et conclus

Bonne fin d'exercice

[SoS-Math(11)]

Tu as bien travaillé pendant que je répondais, et je te donnais la réponse pour u<0 et v>0.

Bonne continuation