DM de spécialité maths

[cedric08]

Bonjour,
J'ai 4 exercices de spécialité a faire.Je suis arrivé a faire le 4 mais je bloque pour les 3 autres car nous avons vu que le début des congruences.


Exercice 1:
1)Déterminer deux entiers naturels a et b tels que pour tout n entier naturel:
n+20/n+2 = a + b/n+2

2)Déterminer tous les entiers naturels n tels que n+20/n+2 soit un entier naturel.


Exercice 2:
1)Démontrer que pour tout entier relatif n, N=3n^2+3n+1 n'est pas divisible par 5.

Exercice 3:
1)Démontrer que pour tout entier naturel k: 4^3k est congru a 1 modulo 9
2)En déduire que pour tout entier naturel k et pour tout entier naturel r : 4^3k+r est congru a 4^r modulo 9.
3)Soit n un entier naturel.Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de 4^n+2 par 9.
4)Démontrer que pour tout entier naturel n: 10^n+3x4^n+2 +5.



J'ai ce devoir à faire pour jeudi et j'y ai passé pas mal de temps sans y arriver jusqu'au bout. J'espère que vous pourrez m'aider et vous remercie d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Pour l'exercice 1 :
Ne manque-t-il pas des paranthèses ? (n+20)/(n+2) = a + b/(n+2) ?
La méthode est simple, il s'agit d'écrire de chaque côté de l'égalité sous forme d'une faction de même dénominateur, puis d'identifier les numérateurs (méthode utilisée pour les polynômes).

Exercice 2 :
tu peux par exemple tester tout les restes possibles de la division de n par 10 et en déduire les restes de la division de 3n^2+3n+1 par 10.
tu verras alors que ces restes ne sont pas divisibles par 5 !

Voila pour le début.
Bon courage,
SoSMath.

[cedric08]

Pour l'exercice 1 je trouve n+20=an+2a+b et la je bloque je ne vois pas comment déterminer a et b avec cela ?

[SoS-Math(9)]

Cédric,

tu as deux polynômes (variable n) égaux, donc les coefficients des termes de même degré sont égaux !

SoSMath.

[cedric08]

Bonjours,
Pour l'exercice 1 je trouve a=1 et b=18 par identification, cela est t-il correct ?
pour la question 2 de l'exercice 1 je pense qu'on doit résoudre l'inéquation n+20/(n+2) supérieur ou égal à zéro ?
Pour cela j'ai factoriser par n+2 j'obtiens donc (n+20)(n+2), je développe, ensuite je calcul delta et je fait un tableau de signes ?
est ce la bonne méthode ?

Pour l'exercice 2 si j'ai bien compris il faut que je prenne des valeurs de n puis que je regarde le reste de la division par 10 ?
Mais notre professeur nous a demandé d'utiliser les congruences modulos 5.

[SoS-Math(9)]

Cédric,
tesrésultats sont justes.
Par contre je ne comprends pas ce que tu veux faire à la question 2 !
Il faut utiliser le résultat du 1) !
Aide : trouve les diviseures de 18.

SoSMath.

[cedric08]

les diviseurs de 18 sont 1,2,3,6,9,18.
Mais je ne vois pas comment m'en servir pour la question 2

[SoS-Math(9)]

Cédric,
je ne peux (et veux) pas t'aider davantage ....
Demande toi pourquoi je t'ai donné 18 ....

SoSMath.

[cedric08]

Est ce que le n du numérateur et du dénominateur peuvent être différent ?
Et si oui je pense qu'il faut qu'il soit premier entre eux?

[cedric08]

Est ce que le n du numérateur et du dénominateur peuvent être différents?
Je pense qu'il y a un rapport avec les nombres premiers ??

[SoS-Math(9)]

Cedric,

Il n'y a aucun rapport avec ce que tu me dis ....
Il y a seulement un rapport avec la question 1 !
On veut que (n+20)/(n+2) soit un entier, donc .....

SoSMath.

[cedric08]

Avec les diviseurs de 18 la seule solution est 1 car il faut que (n+20) soit divisible par (n+2) pour que (n+20)/(n+2) soit un entier naturel ?

[SoS-Math(9)]

Cédric,

tu n'as pas utilisé le résulat de la question 1) !!!!

SoSMath.

[cedric08]

Je crois que j'ai enfin trouvé:
(n+20)/(n+2) est un entier naturel si et seulement si n+2 est un diviseur de 18 car on a montrer à la question numéro 1 que (n+20)/(n+2) = 1+(18/n+2) et les diviseurs de 18 sont 1,2,3,6,9,18 et donc n=1,4,7,16.

[cedric08]

(n+20)/n+2) est un entier naturels si et seulement si n+2 est un diviseur de 18 car (n+20)/(n+2)=1+(18/n+2)
donc les diviseur de 18 sont 1,2,3,6,9,18 donc n=1,4,7,16