Limites

[Camille]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

Dire si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier cette réponse.

1. Si u est une suite croissante, alors u a pour limite \(+\infty\).
2. Si une suite converge vers 0, alors elle est décroissante.
3. Si pour tout entier n\(\geq\)1, \(u_n\leq\frac{1}{n}\), alors la suite u converge vers 0.
4. La suite u définie sur\(\mathbb{N}\) par \(u_n=(-1)^n\) a deux limites.
5. La suite w définie sur par \(w_n\)=sin(n) est divergente.
6. u est une suite quelconque. Si la suite v converge vers 0, alors la suite uv converge également vers 0.
7. Pour tout réel q>0, \(\lim_{n\to\infty}q^{n}=+\infty\).
8. La suite u définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=(-\frac{8}{9})^{n}\) a pour limite \(-\infty\).
9. La suite v définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=(0,99)^n\) converge vers 0.
10. La suite w définie sur \(\mathbb{N}\)* par : \(w_n\)=0,99...9 converge vers 1.
11. La suite S définie pour tout entier\(n\geq1\) par : \(S_n\)=1+0,99+(0,99)²+...+\((0,99)^n\)
diverge vers \(+\infty\).
12. Si u est une suite géométrique de raison q>1, alors u a pour limite \(+\infty\).

J'ai réussi à faire quelque question mais je ne suis pas sûre :
1. Faux
2. Faux
4. Faux, la suite u n'a pas de limite
5. Faux, la suite w n'a pas de limite, elle est périodique
6. Vrai car la suite uv converge vers L*L'
7. Faux car si -1<q<1 alors la suite converge vers 0
8. Faux, la suite u converge vers 0
9. Vrai car si -1<q<1 alors la suite converge vers 0
10. Vrai (car ça se voit...)
12. Faux, si q>1 alors la suite diverge vers l'infini et le signe dépend du premier terme donc ça peut être + ou -.

Voilà, je ne sais pas si ces justifications suffisent, s'il faut plus préciser sa réponse ou pas...

Merci d'avance !!

[sos-math(19)]

Bonsoir Camille,

Les réponses 1, 2, 4, 7, 8, 9 et 12 conviennent.

Pour la question 10, la suite w ne me semble pas rigoureusement définie.

Question 5 : la suite n'est pas périodique, mais c'est vrai qu'elle n'a pas de limite, donc elle n'est pas convergente et toute suite qui n'est pas convergente est dite ...

Question 6 : u est une suite quelconque, donc pas forcément convergente. Revois les cas de formes indéterminées.

A toi de terminer ton exercice.

[Camille]

Bonjour, pour la 5, elle est divergente. La suite w n'a pas de limite car elle est périodique et non constante.

Je bloque pour la 3...

Merci !

[sos-math(19)]

Bonsoir Camille,

Question 5 : oui, la suite est divergente.

Question 10 : Pour répondre correctement, il est nécessaire d'avoir une définition plus précise de la suite.

Question 3 : Rien ne dit que \((u_n)\) est positive. La suite définie pour \(n\geq1\), par \(u_n=-n\) satisfait-elle les hypothèses ? Alors, conclue toi-même.

Bonne continuation.