Les suites --'

[Remy]

Salut a tous.
Voila, j'ai un probleme avec mon dm de math, (qui est d'ailleurs tres/trop long...). C'est sur les suites et les emprunts bancaires, mais je n'y arrive pas. Un peu d'aide, s'il vous plait ! Bon, je poste mon sujet :


Une somme S0 (S zéro) est empruntée le 1er janvier de l'année 0 à un taux annuel de t% (intérêts composés). Au 1er janvier de l'année 1, la somme est réévaluée de t% et l'on rembourse une somme fixée au départ appelée l'annuité (notée a). La somme restante à rembourser au premier janvier de l'an 1 après ces deux opérations (le capital restant dû) est noté S1. Le mécanisme se poursuit d'année en année jusqu'à ce que le capital restant dû arrive à 0.
Notons Sn la somme restant à rembourser le 1er janvier de l'année n.

1) Expliquer la formule : S(n+1) = Sn * c - a ou c = 1 + (t/100).

2) La suite (Sn) (n > ou = à 0) est une suite arithmetico-géometrique.
a) Exprimer Un+1 en fonction de Un.
b) Comment choisir k pour que Un soit géometrique ?
c) Donner sa raison puis exprimer Un en fonction de n, de S0 (S zéro), c et a.
d) En déduire Sn en fonction de n, S0, c et a.

3) On appele N le nombre d'année nécessaire au remboursement, c'est à dire que l'on a Sn = 0. Grâce à 2)d) :
a) Donner a en fonction de N, S0 et c.
b) Donner S0 en fonction de a, N et c.


La suite, il me faut juste ces données, donc je le ferais tout seul (un peu de travail quand meme !). Merci d'avance :D

[sos-math(12)]

Bonjour Remy

L'objectif de ce forum et de t'aider dans la résolution de tes problèmes en maths.
Il faut donc que tu me communiques ce que tu as fait, idées, démarches, approches pour que je puisse t'aider.
Il te faut commencer par traduire par des opérations mathématiques la première partie de l'énoncé.
Concernant la question 2 : la suite \((u_n)\) n'est pas définie dans ton énoncé donc il sera difficile de se prononcer.

Bonne chance.

[Remy]

Effectivement, j'ai oublié un truc :
2) LA suite (Sn)n> ou = a 0 est une suite arithmetico géométrique. Soit un nombre k fixé et (Un) la suite definie pas Un = Sn + k.


Concernant mon travail, j'ai tout de même cherché un peu, considérant que ce n'est pas en demandant aux autres que je risque de progresser... Mais la, je sèche vraiment : Je voulais calculer U1 a partir de U0, mais on a aucune donnée chiffré, et ça m'aide pas vraiment... En plus, j'comprends presque rien a l'énoncé, alors je demande un peu d'aide. Je ne demande pas forcément les réponses, mais au moins que quelqu'un me mette sur la voie...

[SoS-Math(11)]

Bonjour Rémy

Pour que tu puisses débuter, pense que pour augmenter un capital C de t % tu calcules \(C+C\times{\frac{t}{100}\) , tu peux donc mettre C en facteur de (1 + ...) je te laisse compléter en déduire c et conclure pour la 1°) question.
2.a) Pour la seconde écris \(u_{n+1}\) en fonction de \(S_{n+1}\) puis remplace \(S_{n+1}\) par l'expression trouvée à la question 1 et conclus.
2.b et c) pense qu'à chaque fois \(S_{n}\) est multiplié par c pour trouver \(S_{n+1}\) .

J'espère que cela sera suffisant pour que tu puisses commencer et avancer dans ce dm.

Bon courage

[Remy]

Merci beaucoup ! Juste une derniere question :
Dans la question 1, il faut montrer que S(n+1) = Sn * c - a. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ce -a ? J'ai beau relire mon enoncé, je ne saisi toujours pas pourquoi il arrive dans cette formule...

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Pense qu'à la fin d'une année, tu as remboursé une somme qui s'appelle une annuité et qui vaut "a" dans ton exercice, cette somme est à enlever pour calculer ce qui reste à rembourser.

La dernière année, "a" est égale à ce qui reste à rembourser augmenté des intérêts de l'année en cours.

Bon courage pour la fin

[Remy]

Bonjour,
J'ai avancé dans mon DM, mais la question 2a) me pose un nouveau soucis.
J'ai suivis vos conseils, en calculant Un+1 en fonction de Sn+1; la suite etant arithmetico geometrique, elle est de type Un+1= Un+ r. J'ai donc d'abord calculer Un. Je trouve Un = ((Sn+1)/(1+ [t/100]-a)) + k. donc Un+1= ((Sn+1)/(1+[t/100]-a)) + k +r r étant la raison.
= ((Sn x (1+(t/100)-a)/(1+(t/100)-a)) +k +r
Cela revient en fait a Un+1= Sn +k +r. (Résultat que j'aurais pu trouver depuis le début...) Mais je trouve le resultat relativement bizarre... Trop evident. Me suis je trompé quelque part, et est ce la reponse qu'on attends ?

[SoS-Math(4)]

bonjour,

on a : \(U_{n+1}=S_{n+1}+k=cS_n-a+k=c(U_n-k)-a+k=cU_n-ck+k-a\)

sosxmaths