Produit scalaire et lieu

[Lucile]

J'ai un exercice à faire afin de déterminer différents ensembles. Le problème est que je bloque pour les deux dernières questions. Je vous mets mes réponses et j'espère que vous pourrez m'aider à résoudre mes deux dernières questions !

Merci beaucoup !

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A(1,2) B(3,0).

1. Déterminer par une équation l'ensemble E des points tels que MA . MB = 3

J'ai trouvé x² + y² -4x - 2y + 3 = 3 et en factorisant ça donne (x-2)² + (y-1)² -2 = 3 ce qui revient à dire que (x-2)² + (y-1)² = 5 (c'est pour faciliter la réponse à la question suivante)

2. Quelle est la nature de cet ensemble ?

J'ai trouvé que la nature de cet ensemble (E) est le cercle de centre (2;1) et de rayon racine de 5.

3. Peut-on trouver un point P de l'axe des ordonnées tel que PA . PB = 3 ?

J'ai fait soit P (0;y) car P est sur l'axe des ordonnées. J'ai effectué PA.PB avec PA(1 ; 2-y) et PB (3; -y) et je trouve cette équation y(-2 +y) = 0 donc 2 solutions pour y : 0 et 2 On fait une vérification avec les deux solutions et on trouve 2 points : P(0;0) et P(0;2) et dans les deux cas le produit scalaire de PA par PB est bien égal à 3

4. Déterminer par une équation l'ensemble F des points M tels que MA . AB = 3 J'ai trouvé y = (5+2x)/2

5. Déterminer l'ensemble E inter F à l'aide des équations trouvées pour E et F. Là je voulais établir un système d'équations :

y = (5+2x)/2 (1)
x² + y² - 4x -2y = 0 (2)

Mais je n'arrive pas à le résoudre car j'arrive à ça en remplaçant la (1) dans la (2) :
x² + (4x² + 20x + 25)/4 -6x -5 = 0 et même en mettant tout au même dénominateur je reste bloquée car j'obtiens 8x² - 4x +5 = 0 et delta ici ne fonctionne pas.

6. Déterminer E inter F sans utiliser les équations de E et F. Et là je ne vois pas du tout comment faire.


Merci encore de votre aide !

[sos-math(19)]

Bonjour Lucile,

Question 5 : Ce n'est pas \(\Delta\) qui ne fonctionne pas, mais tu trouves une valeur négative de \(\Delta\). Qu'est-ce que cela signifie ?

Question 6 : As-tu pensé à tracer les ensembles E et F déterminés aux questions précédentes ? Fais-le et je pense que tout deviendra plus limpide pour toi.

Il ne faut jamais rester sur des calculs sans chercher à en comprendre le sens.

Bonne continuation.

[Lucile]

Si delta est négatif alors il n'y a pas de solutions c'est bien ça ? Je vais voir pour la 6ème question je reviens après. Merci de votre aide !

[sos-math(19)]

Bonjour Lucile,

Oui, c'est bien cela.

A bientôt.