hyperboles, produit scalaire

[jean-baptiste]

Bonjour,
nous avons à faire un exercice que je n'arrive pas à commencer car sans valeur je me trouve un peu perdu
pourriez-vous me conseiller s'il vous plait ?
merci



Dans un repère orthonormal (O; I; J), H est l'hyperbole d'équation y=1/X
M1, M2 et M3 sont trois points de H d'abscisses respectives X1, X2 et X3 telles que: X3<0<X2<X1
Le but de l'exercice est de démontrer que l'orthocentre h du triangle M1M2M3 est un point de l'hyperbole H.

1a) Démontrer que le vecteur M1M2 est colinéaire au vecteur u de coordonnée (X1X2; -1)
b)Démontrer de même que M1M2 est colinéaire à v de coordonnées (X1X3; -1)

2) On note (x;y) les coordonnées de h.
a) Pourquoi M3h.u=0 et M2h.v=0 ?
b)Déduisez-en que les coordonnées (x;y) de h vérifient le système:
(X1X2)x-y= X1X2X3- 1/X3
{
(X1X3)x-y= X1X2X3 -1/X2
c) Trouvez alors les coordonnées de h en fonction de X1, X2 et X3 et déduisez-en que h est un point de H.

[sos-math(19)]

Bonsoir Jean-Baptiste,

Un point d'abscisse \(x_1\) situé sur l'hyperbole d'équation \(y=\frac{1}{x}\) a pour ordonnée \(\frac{1}{x_1}\).

Tu calcules les coordonnées de \(M_1\) et de \(M_2\), puis tu en déduis les coordonnées de \(\vec{M_1M_2}\).

Enfin, tu détermines le coefficient de proportionnalité entre les coordonnées correspondantes des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{M_1M_2}\).

ces indications devraient te permettre de commencer ton exercice.

A bientôt.

[jean-baptiste]

merci beaucoup je vais voir ce que je peux faire avec ça
bonne soirée

[sos-math(19)]

Bonjour Jean-Baptiste,

Pas de quoi, nous sommes là si tu as besoin d'aide.

A bientôt sur sos-math.

[Audrey]

Comment trouvre t-on le coefficient de proportionnalité ?
Merci

[sos-math(19)]

Bonjour Audrey,

Tu calcules \(\frac{x_{\vec{u}}}{x_{\vec{M_1M_2}}}\) et \(\frac{y_{\vec{u}}}{y_{\vec{M_1M_2}}}\).

S'il y a égalité des deux rapports, alors les vecteurs sont colinéaires et leur coefficient de colinéarité est égal au coefficient de proportionnalité ainsi calculé. Sinon, les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Bonne continuation.

[Audrey]

Merci, mais maintenant je bloque sur la question 2 ? faut-il faire caculer les coordonées ?

[SoS-Math(11)]

Bonjour Audrey,

Ce n'est pas nécessaire, que sais-tu de (M3H) et de (M1M2) si H est l'orthocentre (intersection des hauteurs) ? Que sais-tu du produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux ?
Utilise alors la question 1 pour déterminer le produit scalaire \(\vec{M_3h}\vec{u}\). Conclus de même pour l'autre produit scalaire.
Je te laisse continuer, bon courage

[Audrey]

Merci, mais maintenant je bloque sur les deux dernieres questions
il faut se servir de la question 2a ?

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir

Tu as déterminé les produits scalaires tu peux donc en déduire le système proposé.
En soustrayant membre à membre tu peux calculer \(x\) en fonction de \(x_1,x_2,x_3\).
Remplace alors x dans la première équation pour en déduire \(y\), et remarque que \(y=\frac{1}{x}\) donc que h est sur l'hyperbole.
Il ne reste que du calcul algébrique à effectuer, attention aux signes (\(x_3-x_2\)et \(x_2-x_3\) sont opposés, tu seras amené à faire la division de l'un par l'autre aussi n'oublie pas le signe moins)

Bonne continuation