Les vecteurs

[Jérémy]

Bonjour,
Je tiens d'abord a vous remercier de m'avoir aider a mes autres DM qui m'on permis de mieux comprendre et d'avoir de bonnes notes aux contrôles.

Donc voilà, j'ai un DM sur les vecteurs pour vendredi, j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est juste.

Exercice 1 : Dire si les affirmations suivantes sont vrais ou fausses, aucun justificatif n'est demandé. (pour l'écriture V voudra dire Vecteur)

ABCD est un parallélogramme : alors a) V(AB) = V(CD) b) V(BC) = V(AD) c) V(AC) = V(AD)

a) faux b) vraie c) faux

La translation qui transforme E en F transforme aussi G en H, alors : a) EFGH est un parallélogramme b) (EG) et (FH) ont même milieu c) V(EF) = V(GH)
a) faux b) faux c) vraie

Exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne A(-1,0) B(2,1) C(-2,3)

1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

Si ABDC est un parallélogramme alors V(AB) = V(CD)
V(AB) (xB-xA ; yB-yA)
V(AB) (2+1;1-0)
V(AB) (3;1)

V(CD) (xD-xC;yD-yC)
V(CD) (xD+2,yD-3)

V(AB) et V(CD) sont egaux si et seulement si ils ont même abscisses et même ordonnées.

3=xD+2 1=yD-3
3-2=xD 1+3=yD
1=xD 4=yD

D(1;4)


2) Calculer les distances AB AC BC V representera Racine carrée

AB= V(xB-xA)²+(yB-yA)² = V(2+1)²+(1-0)² = V9+1 = V10

AC= V(-2+1)²+(3-0)² = V1+9 = V10

BC= V(-2-2)²+(3-1)² V16+4 V20


3) En déduire que ABDC est un carré

Là, je vois pas du tout


Exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé, on donne A(-1,4) et B(5,2)

1) Calculer les coordonnées du milieu K de [AB]

xK=xA+xB/2 = -1+5/2 = 4/2 = 2

yK=yA+yB/2 = 4+2/2 = 6/2 =3

K(2,3)

2) Soit M un point quelconque du plan de coordonnées (xM,yM)


a) Calculer en fonction de xM et yM les vecteurs MA MB MK


V(MA) (xA-xM;yA-yM)
V(MA) (-1-xM;4-yM)

V(MB) (5-xM;2-yM)

V(MK) (2-xM;3-yM)

b) Calculer les coordonnées de V(MA) + V(MB). Quelle relation y a-t-il entre V(MA) +V(MB) et V(MK)

V(MA)+V(MB) (-1-xM+5-xM;4-yM+2-yM)
(4-2xM;6-2yM)

On peut écrire V(MA)+V(MB) = 2V(MK)

Merci :)

[sos-math(19)]

Bonjour Jérémy,

Bravo, tout ce que tu as fait est juste.

Voici l'aide pour la question 3 de l'exercice 2 :
Tu sais que ABDC est un parallélogramme.
Tu as déjà montré que AB = AC, donc ce parallélogramme est un ...(à toi de compléter).
Il reste enfin à prouver que (AB) et (AC) sont perpendiculaires, pour affirmer qu'il s'agit d'un carré.
Tu peux penser à la réciproque de Pythagore.

Bonne continuation.

[Jérémy]

Bonjour,

Donc AC= AB donc ce parallélogramme est un losange ?
Après J'utilise le triangle CBA pour montrer que CA et BA sont perpendiculaire et cela prouvera que c'est bien un carré ?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
votre raisonnement est juste.
Bon courage pour terminer.

[Jérémy]

Bonjour,

donc voilà ce que j'ai fais


Nous savons que ABDC est un parallélogramme.
Nous savons que si un parallélogramme a deux cotes consécutifs de même longueurs alors c'est un losange.
Or ici nous avons AB=AC donc ABDC est un losange.
De plus, nous savons que si un losange a un angle droit alors c'est un carré.
Nous allons utiliser la reciproque du théorème de Pythagore dans le triangle ACB.
On a AC=AB=V10 et BC=V20

BC est l'hypoténuse, V20²=20 AC²+BC²=V10²+V10²=10+10=20

BC²=AC²+BC²=2

CA et AB sont bien perpendiculaires et forment un angle droit donc ABDC est un carré.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Jérémy,
C'est très bien malgré des petites erreurs de frappe comme \(BC^2=AB^2+AC^2=20\) et non 2.
A bientôt.