Exercice repères & coordonnées

[Carla]

Bonsoir alors voilà j'ai un exercice de math à faire et je ne comprend pas très bien , si vous pouviez m'aidez je vous en serais reconnaissante :
C'est :
Soit les points A(2;1) et B(4;-3) dans un repère orthonormal (O;vecteur i;vecteur j). On veut construire,par un procédé géométrique,le point C tel que vecteur AC = - racine de 2 * vecteur AB .

1)Déterminer les coordonnées du point C.(on ne placera pas ce point sur la figure)
J'ai commencer par chercher les coordonnées du vecteur AB après je ne sais pas ... mais je vous assure que j'ai chercher cet exercice .

2)Construire un carré ABEF.Quelle est la longueur de la diagonale [AE] en fonction de la longueur AB ? Ici je sais pas quelle formule appliquée .

3)Tracer le cercle de centre A et de rayon AE. En déduire une construction du point C .

Merci bien . A une prochaine .

[SoS-Math(1)]

Bonjour Carla,
Il faut en effet chercher les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) et celles du vecteur \(-\sqrt{2}\vec{AB}\).
On les trouve en faisant \(-\sqrt{2}(x_B-x_A)\) pour l'abscisse et \(-\sqrt{2}(y_B-y_A)\) pour l'ordonnée.
Ensuite, on sait que les coordonnées du vecteur \(\vec{AC}\) sont \((x_C-x_A;y_C-y_A)\).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
On peut ainsi trouver \(x_C\) et \(y_C\), les coordonnées du point C.
Pour la question 2., le théorème de Pythagore semble indiqué et il faudra calculer AB auparavant.
A bientôt.

[Carla]

Merci de votre aide c'est très gentil.

Je vous donne ce que j'ai trouver :
1)VecteurAB(2;-4)
VecteurAC(x-2;y-1)
-racine de 2vecteurAB(-racine de 2(2);-racine de 2(-4))

VecteurAC et -racine de 2vecteurAB sont égaux & on donc les mêmes coordonnées.
On a ce système :
x-2=-racine de 2*(2)
x=-racine de 2(2)-(-2)
x=-racine de 2(2)+2
=-racine de 2(4)

y-1=-racine de 2(-4)
y=-racine de 2(-4)-(-1)
y=-racine de 2(-4)+1
=-racine de 2(-3)

Donc C(-racine de 2(4);-racine de 2(-3))

2)Il n'y a pas de longueur , au départ le carré est quelconque & pour trouver AB j'utilise les absisses de départs avec la formule de longueur : racine de (xa - xb)²+(ya-yb)²mais ça n'a rien a voir non ( on ait pas dans un repère ) ? Le résultat final donne -racine de 4 . C'est possible -4cm pour un côté ?

J'espère que vous arriverez à me relire parceque l'écriture TeX ne marche pas désolé . A bientôt .

[SoS-Math(1)]

Bonjour Carla,
Le vecteur \(\vec{AC}\) a pour coordonnées \((x-2;y-1)\). Vous aviez raison.
Le vecteur \(-\sqrt{2}\vec{AB}\) a pour coordonnées \((-2\sqrt{2};4\sqrt{2})\). Vous aviez raison mais ce n'est pas très bien écrit.
Donc on en déduit que \(x-2=-2\sqrt{2}\) et que \(y-1=4\sqrt{2}\).
Donc \(x=-2\sqrt{2}+2\) et que \(y=4\sqrt{2}+1\). Vous aviez tort.
Pour trouver AE, il faut juste appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABE.
Bon courage.

[Carla]

Merci mais comment utiliser le théorème de Pythagore sans longueurs ?
Pour construire ce carré il faut pas se servir des coordonnées de A et de B ( de l'énoncé de départ entier ) si ? C'est un carré quelconque .

A bientot .

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Comme ABE est un triangle rectangle en E,
alors d'après le théorème de Pythagore, on a \(AB^2+BE^2=AE^2\).
Or \(AB=AE\).
A la fin, on va trouver \(AE\) en fonction de \(AB\) et c'est ce qui est demandé.
A bientôt.

[Carla]

Bonjour,
Vous vous êtes trompez,il est rectangle en B le triangle.
Oui je connais la formule du théorème de Pythagore.AB n'est pas égal à AE,je ne comprend plus rien.Mais sans les longeurs du carré je ne peux pas utiliser ce théorème.Il faut utliser la relation de Chasles ou pas?
A bientôt.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Carla,
Oui en effet, il est rectangle en B mais c'est une erreur de frappe puisque j'avais la bonne relation:
\(AB^2+BE^2=AE^2\).
Or \(AB=BE\), donc \(2AB^2=AE^2\), donc \(AE=\sqrt{2AB^2}=\sqrt{2}AB\).
On vous demandait d'exprimer AE en fonction de AB et c'est ce que j'ai fait.
On ne doit pas utiliser ici la relation de Chasles puisqu'on parle de longueurs et non de vecteurs.
A bientôt.