Suites

[Justine]

Bonjour,
J'ai un DM de maths à rendre et je planche dessus depuis quelque temps mais je n'arrive pas à avancer sur ce dernier exercice.

Voici le sujet :

La suite Un est définie par u(0)=1 et pour tout entier naturel, par U(n+1)=1/2 U(n) +n-1

1. Démontrer que pour tout n>3, U(n)>0
En déduire que pour tout n>4 U(n)>n-2

2. En déduire la limite de la suite U(n)

3.On définit la suite V(n) par V(n)=4U(n)-8n+24
a. Démontrer que la suite Vn est géométrique & décroissante. Donner la raison et le premier terme
b. Démontrer que Un=7(1/2)^n +2n-6
c. Vérifier que pour tout entier naturel n, Un= x(n)+y(n) où x(n) est une suite géométrique et y(n) une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison

Pour le 1. j'ai commencé par demontrer par récurrence et j'obtiens1/2 Un +n-1 > 1/2Un+2
La question 3.a ne me pose pas de problème.
Par contre je ne comprend pas la méthode à utiliser dans le 2. et 3.b & c.
Pouvez vous m'aider SVP ?

[SoS-Math(2)]

Bonjour Justine,
c'est effectivement une récurrence qu'il faut faire dans le 1)
Pour la 2), vous savez que Un>n-2
Utilisez le théorème de comparaison de suites car lim(n-2)= ... quand n tend vers +inf

Pour la question 3b) vous avez montré que Vn est une suite géométrique dont vous avez le 1er terme et la raison donc vous pouvez écrire son terme général en utilisant la formule Vn=V(0)*q^n

Ensuite vous pourrez en déduire Un en utilisant la formule qui donne Vn en fonction de Un
Bon courage

[justine]

bonjour,
merci beaucoup,j'ai pu tout finir

[SoS-Math(2)]

Tant mieux si nous avons pu vous aider
A bientôt