nombres complexes

[Solène]

Bonsoir

Dans le plan complexe, m est un point d'affixe z=x+iy , x et y réels.
A tout complexe z , différent de 1, on associe Z=(5z-1)/(z-1)
On définit ainsi une fonction qui, à M(z), associe M'(Z)

1)a) Exprimer Z+\(\overline{Z}\) en fonction de z et du conjugué de z.
b) Démontrer l'ensemble des points m tels que Z soit un imaginaire pur est un cercle privé d'un point.

1)a) Z+\(\overline{Z}\)= (10z\(\overline{z}\)-6\(\overline{z}\)-6z+2)/(z\(\overline{z}\)-z-\(\overline{z}\)+1)

b) Z=(5z-1)/(z-1) équivaut à dire que Re(Z)=0
Z=(5x+i5y-1)/(x+iy-1)
Z=((5x-1)+i5y)/((x-1)+iy)*((x-1)-iy)/((x-1)-iy))
En réduisant l'écriture, je trouve Z= (5x²-6x+1+y²5)/((x-1)²+y²)+(i(y-5y)/((x-1)²+y²)
Re(Z)=0 équivaut à (5x²-6x+1+y²5)/((x-1)²+y²)=0
5x²-6x+1+y²5=0
5x²-6x+y²5=-1
Je voulais trouver une relation avec une équation du cercle de type (x-x0)²+(y-y0)²=R² mais on a -1 négatif.

[sos-math(13)]

Bonjour,

sans le tex (qui bug en ce moment) c'est un peu dur à lire, mais bon...

La première réponse est correcte.

Pour la deuxième question, on pouvait se servir de la relation Z+conj(Z)=2Re(Z)
Donc on veut que Z+conj(Z)=0. Il faut et il suffit que le numérateur de l'expression de la question 1 soit nul.

On arrive en effet à la même relation que la tienne, mais plus simplement me semble-t-il.

Pour voir une équation de cercle, il est conseillé d'abord de tout diviser par 5.
Ensuite, qu'il y ait -1 dans le membre de droite n'est pas gênant, puisque tu remarques que le membre de gauche n'est pas non plus sous la bonne forme. Il faut réussir à écrire x²-6x/5 sous une forme du type (x-a)². Il y aura alors un a² en trop, à retirer, et tout devrait rouler.

Bon courage.

[Solène]

Bonjour

2) f est une fonction qui, à tout m d'affixe z différent de 1, associe M d'affixe Z.
a) Déterminer l'image du point A(2;3). B (5;0) a-t-il un antécédent ?

L'image du point A(2;3) est A'(-18/5;21/5)

L'affixe de B est Z=5
ce qui équivaut à dire que (5z-1)/(z-1)=5
5z-1=5(z-1)
5z-1=5(z-1) vrai

Je ne vois pas comment conclure.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Regarde bien ta dernière ligne de calcul.

Cette égalité est au contraire impossible, donc ...


sosmaths

[Solène]

Ah bah oui !
5z-1 est différent de 5z-5
Donc B n'a pas d'antécédent.

Merci beaucoup !