Résoudre une forme indéterminée

[Valérie]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette forme indéterminée pour trouver la limite en 0 de (1/x) 2^(-1/x)
J'ai essayé d'utiliser les techniques qu'on nous a donné en cours: factoriser, développer, changer de variable mais je n'arrive pas à la résoudre. Est ce que vous pourriez m'aider ?
Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
on parle bien de la limite suivante : \(\lim_{x\to 0, x>0}\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}\) ?
À gauche de 0, il n'y a pas de problème, la limite est \(-\infty\).
À droite, il faudrait faire un changement de variable. Connais-tu le logarithme ?
Il faudrait l'utiliser pour exprimer ta puissance de 2 sous la forme d'une exponentielle puis faire un changement de variable.
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}\times \text{e}^{-\dfrac{\ln(2)}{x}}\), puis faire le changement de variable \(X=\dfrac{-\ln(2)}{x}\)
Je te laisse poursuivre.

[Invité]

Bonjour,
on parle bien de la limite suivante : \(\lim_{x\to 0, x>0}\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}\) ?
À gauche de 0, il n'y a pas de problème, la limite est \(-\infty\).
À droite, il faudrait faire un changement de variable. Connais-tu le logarithme ?
Il faudrait l'utiliser pour exprimer ta puissance de 2 sous la forme d'une exponentielle puis faire un changement de variable.
\(f(x)=\dfrac{1}{x}\times 2^{-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x}\times \text{e}^{-\dfrac{\ln(2)}{x}}\), puis faire le changement de variable \(X=\dfrac{-\ln(2)}{x}\)
Je te laisse poursuivre.

En x--->0+ f(x)=2^(-1/x)/x: on pose X=1/x ----> +infini
On se ramène à : X/2^X ---> 0 quand X----> +infini

[sos-math(21)]

Bonjour,
il est inutile de citer le message situé juste au-dessus dans le forum.
D'autre part, votre proposition est recevable dans l'absolu mais ne rentre pas dans le cadre du programme de terminale qui n'aborde les croissances comparées qu'entre l'exponentielle de base \(\text{e}\) et les puissances de \(x\), d'où le choix du changement de variable dans mon précédent message.
Bonne continuation

[Invité]

Bonjour, si on avais (1/x^2) (2^(-1/X)), comment on fais pour trouver la limite en 0?
J'ai essayé le changement de variable mais je n'ai pas réussi.
Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Il faut faire le changement de variable \(X= \frac{ln(2)}{x}\), tu obtiens alors \(\frac{1}{(ln(2))^2}X^2e^{-X}=\frac{1}{(ln(2))^2}\frac{X^2}{e^X}\).
Il te reste à utiliser la limite de référence de \(\frac{e^X}{X^n}\) en \(+\infty\).

SoSMath.