Etude de fonctions

[Maëlle]

Bonjour ! J'ai un exercice très difficile à rendre pour la rentrée, je bloque dessus depuis pas mal de temps maintenant... Pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie par f(x) = $\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$
Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, $\vec{i}$, $\vec{j}$ d’unité 2 cm.

1. Déterminer l'ensemble de définition Df de f.
2. Démontrer que pour tout x∈Df, f(−x) = −f(x). Quelle conséquence peut on en déduire pour la représentation graphique Cf ?

3. Déterminer $\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)$. Interpréter géométriquement.
4. Déterminer $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)$. En utilisant la question 2, comment peut-on en déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)$ ?
5. Montrer qu’il existe, et déterminer, deux réels a et b tels que pour tout x ∈ Df, $f(x)=ax + \frac{bx}{x^2-1}$
6. On note ∆ la droite d’équation y = ax. Déterminer $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)-ax$. Comment peut on interpréter géométriquement
ce résultat pour la droite ∆ et la courbe Cf ?
7. Étudier la position relative de Cf et de la droite ∆.

8. Pour tout x ∈ Df, calculer f'(x).
9. . Dresser le tableau de signes de f'(x) ainsi que le tableau de variations de f pour x ∈ Df.
10. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution α sur Df. Et déterminer une valeur approchée de α à 0,01 près.

11. Démontrer qu’il n’existe pas de tangente à Cf parallèle à ∆.

On n'a rien vu sur ça en cours pour l'instant, du coup je bloque dès la première question :(
Merci d'avance !

[sos-math(21)]

Bonjour
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est calculable : ici il s’agit de déterminer les valeurs qui annulent le dénominateur $x^2-1=0$. Le domaine de définition de ta fonction sera constitué de tous les réels privés de ces valeurs interdites.
Pour la deuxième question, il s’agit de remplacer $x$ par $-x$ et de vérifier que $f(-x)=-f(x)$, ce qui prouvera que la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
Bonne continuation

[Maëlle]

Merci beaucoup !

Du coup pour la 1. :
x^2-1=0
x^2=1
x= 1 ou -1

--> Donc Df= R_$\left \{ -1;1 \right \}$

2. f(-x)= -x^3/-x^2-1
= -x^3/x^2-1
= -f(x)

Ca suffit si je justifie comme ça ?

[Maëlle]

Pour la 3. je pense avoir trouvé :

$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3=1$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1=0^+\( J'ai fait un tableau de signe avec dans la ligne x moins l'infini, -1, 1 et plus l'infini, et une ligne signe de x^2-1 avec les signes plus aux extrémités et le signe moins à l'intérieur. Du coup par quotient ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1}$ = $+\infty$

$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= -1$
$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1= 0^-\( Là encore j'ai regardé le tableau de signes. Par quotient, ça donne: \(\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}= +\infty$

Par contre interpréter géométriquement je ne vois pas.\)\)\)\)

[Maëlle]

Pour la 3. j'ai une petite idée: il y a deux asymptotes verticales x= 1^+ et x=1^- ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la justification de la parité, c’est la bonne démarche sauf que dans ton calcul tu as oublié de mettre le $-x$ entre parenthèses.
Pour les limites, il faut étudier la limite à gauche et à droite de chaque valeur interdite car elles interviennent dans le domaine de définition.
Je ne comprends pas une de tes limites en 1 pour $x^3$ : elle ne peut pas être égale à -1.
Reprends cela

[Maëlle]

Merci pour votre réponse.

2. f(-x) = $\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}$
= $\frac{-x^3}{x^2-1}$
= $-\frac{x^3}{x^2-1}$
= -f(x)

C'est juste ? :)

[Maëlle]

3. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :

$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$

--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : $\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty$

Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:

$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1$
$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$

--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: $\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}$ = $-\infty$

[Maëlle]

Rebonjour,

Pour la 4. j'ai enfin une piste :
$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty$
On est sur une forme indéterminée de type $"\frac{\infty }{\infty }"$

f(x)= $\frac{x^3}{x^2-1}$
= $\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}$
= $\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1$
Par quotient, $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty$

[SoS-Math(33)]

Merci pour votre réponse.

2. f(-x) = $\frac{(-x^3)}{(-x^2)-1}$
= $\frac{-x^3}{x^2-1}$
= $-\frac{x^3}{x^2-1}$
= -f(x)

C'est juste ? :)

Bonjour Maëlle, il y a une erreur dans l'utilisation (le placement) des parenthèses
$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2-1}$
$= \frac{-x^3}{x^2-1}$
$= -\frac{x^3}{x^2-1}$
$= -f(x)$

[SoS-Math(33)]

3. Quand x tend vers le 1 positif j'ai fait :

$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^3 = 1$
$\lim_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$

--> Le zéro plus je l'ai trouvé grâce à mon tableau de signe : puisque x tend vers un 1 positif, je tombe sur le signe +.
Du coup, par quotient : $\lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = +\infty$

Ah miince merci je viens de m'en rendre compte !
Du coup quand x tend vers le 1 négatif j'ai fait:

$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^3= 1$
$\lim_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$

--> Le zéro moins je l'ai trouvé grâce au tableau : puisque x tend vers un 1 négatif, je tombe sur le signe -.
Du coup, par quotient de limites: $\lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x^3}{x^2-1}$ = $-\infty$

Cela semble correct.

[SoS-Math(33)]

Rebonjour,

Pour la 4. j'ai enfin une piste :
$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^3 = +\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2-1 = +\infty$
On est sur une forme indéterminée de type $"\frac{\infty }{\infty }"$

f(x)= $\large\frac{x^3}{x^2-1}$
= $\large\frac{x^3}{x^2(1-\frac{1}{x^2})}$
= $\large\frac{x^2}{1-\frac{1}{x^2}}$ il y a une erreur c'est $\large\frac{x}{1-\frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty$ devient $\lim_{x\rightarrow +\infty } x = +\infty$
$\lim_{x\rightarrow +\infty } 1-\frac{1}{x^2} = 1$
Par quotient, $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty$

Il te faut maintenant en déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)$ à l'aide du résultat de la question 2 sur la parité.
SoS-math

[Maëlle]

Merci pour votre réponse !

J'avais oublié: Pour la 3., j'interprète géométriquement en disant qu'il y a deux asymptotes verticales x=1^+ et x=1^- ? Ou tout simplement x=1 ?
Pour la 4. je ne vois pas trop... C'est une fonction impaire, du coup $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty$ ?

[SoS-Math(33)]

Pour la 3) il y a une asymptote verticale x=1
Pour la 4) la fonction est impaire : graphiquement cela signifie que la courbe admet l’origine du repère comme centre de symétrie et du coup tu peux en déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)= -\infty$
Je te laisse poursuivre la suite

[Maëlle]

Pour la 5., il faut d'abord que je montre qu'il existe deux réels a et b. Je cherche depuis longtemps mais il n'y a rien qui me vient à l'esprit. Comment dois-je procéder ?