Dm suite et limite

[eva]

Bonjour, j'ai un devoir maison et je suis bloqué à une question .

L'énoncer: Pour tout entier naturel n$\geq$ 1, on note n! ( on lit factorielle de n), le produit de tous les entiers de 1 à n c'est-à-dire que n!= 1X2X3...Xn ( ce sont des multipliés).

a) Expliquer pourquoi n! $\geq$ n
b) Déterminer lim n!

J'en suis au a) et j'ai raisonnée par récurrence mais je ne sais pas si c'est une bonne idée ? J'en suis à l'hérédité, voici ce que j'ai rédigée..

On suppose qu'il existe un entier n=0 tel que n! $\geq$ n
On veut démontrer que n!+1 $\geq$ n+1
Pourriez vous m'aider s'il vous-plait en m'éclairant sur la bonne démarche à adopter ?

Merci, cordialement Eva

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton hypothèse de récurrence est correcte mais ton hérédité ne fonctionne pas : il faudrait avoir $(n+1)!\geqslant n+1$ et pas $n!+1\geqslant n+1$
Donc il faut que tu partes de l'hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un entier $n$ tel que $n!\geqslant n$.
Il faut trouver un lien entre le rang et le rang $n+1$ : tu as $(n+1)!=\underbrace{1\times 2\times \ldots \times n}_{n!}\times (n+1)=n!\times (n+1)$
Donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par $(n+1)$, tu as : $n!\times (n+1)\geqslant n(n+1)$. Comme $n\geqslant 1$, en multipliant les deux membres de l'inégalité par $n+1$ qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
$n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)$ d'où l'inégalité $n(n+1)\geqslant n+1$.
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien $(n+1)!\geqslant n+1$, ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Bonne continuation

[Eva]

Merci de votre réponse, j’ai corriger mon erreur mais du coup je ne comprend pas bien comment on passe à n(n+1)$/geq$ 2n $/geq$ n+1 , est-il possible que vous m’expliquez s’il vous plaît ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
en fait il y a plus simple que ce que je t'ai dit auparavant :
tu as $n\geqslant 1$ donc en multipliant les deux membres de l'inégalité par $n+1$ qui est positif, l'inégalité est conservée et on a :
$n\times (n+1)\geqslant 1\times (n+1)$ d'où l'inégalité $n(n+1)\geqslant n+1$.
Au final, en reprenant le début du calcul, on a bien $(n+1)!\geqslant n+1$, ce qui traduit que l'inégalité est vraie au rang n+1.
Est-ce plus clair ? Je corrige mon message précédent pour laisser l'explication la plus simple.
Bonne continuation