Congruence

[Thomas]

Bonjour,

Je fais un exercice sur les congruences. Voici l'exercice.
Pour la question 1, pas de problèmes particuliers.
Mais pour la question 2, j'ai commencé à faire un tableau ... Je ne vois pas comment continuer.

Merci d'avance de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
les nombres entiers peuvent être congrus à 0, 1, 2 ou 3 modulo 4 par définition d'une congruence modulo 4 (reste d'une division euclidienne par 4)
donc si $p\equiv 0\,[4]$, alors $p^2\equiv 0^2\equiv 0\,[4]$
si $p\equiv 1\,[4]$, alors $p^2\equiv 1^2\equiv 1\,[4]$
si $p\equiv 2\,[4]$, alors $p^2\equiv 2^2\equiv 0\,[4]$
si $p\equiv 3\,[4]$, alors $p^2\equiv 3^2\equiv 1\,[4]$
Donc un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4 donc une somme de 2 carrés est congrue à ... ou bien ... ou bien ... modulo 4.
Or $4n+3$ est congru à ... modulo 4 d'où l'impossibilité.
Bonne conclusion