DM équations cartésiennes

[Clara]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour lundi et j'ai quelques difficultés. Voici l'énoncé:
Dans un repère orthonormé (O;i;j) d'unités 1cm, on considère les points A(-1;3), B(-3;-2) et C(5;-1). Les points K, L et R sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC].

1. Calculer les coordonnées des points K, L et R.
J'ai trouvé K(-2;1/2), L(2;1) et R(1;-3/2).

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BL)
J'ai trouvé 3x-5y+13=0

3. Soit d la droite d'équation: 3x+14y-1=0
a) Montrer que C et K appartiennent à d.
Je n'arrive pas à trouver comment faire et donc je suis bloquée pour faire le reste de l'exercice.

Merci d'avance pour l'aide.

[SoS-Math(33)]

Bonjour Clara,
il doit y avoir une erreur dans ton calcul de l'équation de la droite (BL), je ne trouve pas le même résultat : 3x-5y+13=0
Pour montrer que C et K appartiennent à d d'équation 3x+14y-1=0 , il te faut vérifier que les coordonnées de C vérifient l'équation et faire ensuite de même avec ceux de K.
Je te laisse faire le calcul

[Clara]

Bonjour,
Nous avons le même résultat, j'ai moi aussi trouvé 3x-5y+13=0.
Concernant la question a) j'ai réussi à prouver en utilisant la formule pour le point C :
yc= mxc + p

La question suivante dans mon DM est :
Que représente la droite d pour le triangle ABC ?
Or on n'a jamais parlé de triangle dans le sujet avant donc je ne vois pas très bien quel est le rapport.

Merci.

[SoS-Math(33)]

Dans ma réponse +13 est en rouge pour signaler où est ton erreur.

Tu as montré que C et K sont deux points de la droite d donc la droite (CK) est la droite d.
(CK) est une droite qui passe par un sommet du triangle ABC et par le milieu du côté opposé c'est donc une .......

[Clara]

Bonjour,
C'est donc une médiane au triangle ABC. J'ai trouvé mon erreur pour l'équation cartésienne de (BL), je trouve maintenant 3x-5y-1=0.

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça Clara, tu as bien corrigé ton erreur et trouver la réponse pour la droite d,
tu peux même préciser que c'est la médiane issue de C.

[Clara]

Bonjour,
Merci pour l'aide déjà apportée. J'ai continué le DM:
4. a) Prouver que (BL) et d sont sécantes.
J'ai réussi à faire en faisant le déterminant des vecteurs directeurs des 2 droites.

b) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection G.
J'a trouvé G(1/3;0)

c) Vérifier que les points A, G et R sont alignés.
J'en suis à cette question.

[SoS-Math(33)]

Pour cette dernière question tu as plusieurs possibilités :
soit tu montres que les vecteurs AG et AR sont colinéaires
soit tu montres que G appartient à la droite (AR)
soit tu utilises la propriété des médianes d'un triangle. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Comme d et (BL) sont deux médianes le point de concours est donc G.
Au passage tu pouvais aussi utiliser cela pour montrer que d et (BL) étaient sécantes.

[Clara]

J'ai montré que les vecteurs AR et AG étaient colinéaires pour prouver que les points sont alignés. J'ai une question après qui me demande de dire ce que représente le point G pour le triangle ABC, c'est donc le point de concours des 3 médianes.

Il me reste une dernière question:
Soit M un point quelconque du plan de coordonnées (x;y). Ecrire un algorithme affichant " M appartient à d " ou " M n'appartient pas à d " lorsqu'on saisit x et y.

Pour l'instant j'ai fais ça:
Saisir x
Saisir y
d=3x+14y-1=0
Si M appartient à d
Alors écrire " M appartient à d "
Sinon écrire " M n'appartient pas à d "
FinSi

[SoS-Math(33)]

Le point G est le point de concours des médianes, oui c'est donc le centre de gravité du triangle.
Pour l'algorithme :
Saisir x
Saisir y
Si 3x+14y-1=0
Alors écrire " M appartient à d "
Sinon écrire " M n'appartient pas à d "

[Clara]

D'accord merci pour l'algorithme. Il me reste un dernier exercice où l'énoncé est:
Soit m un nombre réel. On note dm la droite d'équation 4mx-(2m-1)y+5=0
Pour quelles valeurs de m, le vecteur u (2;-1) est-il un vecteur directeur de la droite dm ?

J'ai simplifié l'expression de la droite d'équation ce qui donne 4mx-2m+1y+5=0
Ensuite je me suis dis que le vecteur u (2;-1) est un vecteur directeur de la droite dm donc a= -1 et b= -2. Donc la droite d'équation dm doit être de la forme -1x-2y+c.

[SoS-Math(33)]

Attention pour la droite dm un vecteur directeur est : (2m+1 ; 4) tu as fait une erreur dans ton développement.
Donc il faut que les vecteurs de coordonnées (2m+1 ; 4) et (2 ; -1) soient colinéaires.
Il faut reprendre ton calcul

[Clara]

Je ne comprends pas pourquoi le vecteur directeur est (2m+1;4). Si -b= -2m+1, b= 2m-1 non ?
Et le 4m?

[SoS-Math(33)]

Désolé erreur de frappe,
oui le vecteur directeur de dm est bien (2m-1 ; 4m)

[Clara]

Bonjour,
Il faut donc que je trouve que les 2 vecteurs (2m-1;4m) et (2;-1) soient colinéaires. Donc il faut que je trouve que 2x?-1 =2 et 4x?=-1 et que les deux ? soient le même nombre, c'est bien ça ?