Bonjour, j'ai un DM à rendre pour vendredi, mais je bloque à une question. Voici le sujet :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
u0= 1/2 et un+1= 1/2*(un+2/un)
1.a) Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par :
f(x) = 1/2 * (x+2/x)
Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j ). (On prendra comme unité 2 cm)
J'ai trouvé la fonction était décroissante sur ]0;racine 2] et croissante sur [2; +infini[
b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l'axe (O,i) d'abscisse respectives u0, u1, u2 et u3.
2.a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : un supérieur ou égale à racine de 2
Je pensais partir sur un raisonnement par recurrence, en expliquant que comme la fonction f(x) est minorée par 2 alors un2. Mais je sais pas j'ai l'impression de rien prouver...
b) Montrer que, pour tout x supérieur ou égale à racine 2, f(x) inférieur ou égale à x.
Je n'ai vraiment aucune idée pour comment montrer cela.
c) En déduire que la suite (un) est décroissante à partir du range 1
Je comprends pas cette question, moi je trouve que la fonction est croissante à partir de racine de 2. Qu'est ce que je n'ai pas compris...??
d) Prouver qu'elle converge.
3) Soit l la limite de la suite (un). Montrer que l est solution de l'équation :
x= 1/2 * (x+2/x)
En déduire sa valeur.
La question à laquelle je n'arrive pas est la 2B.. Auriez vous une piste à me donner ? Merci
Suites TS
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SoS-Math(7)
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Re: Suites TS
Bonsoir Antoine,
pour commencer, la suite est-elle définie par \(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) et donc \(f(x)=\frac{1}{2}\times (x+\frac{2}{x})\) ?
Si c'est le cas, je suis d'accord avec la variation de \(f\) trouvée.
2a) c'est effectivement par récurrence que tu vas démontrer ce résultat. Tu sais que \(f(U_n)=U_{n+1}\)\(\)et que \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt{2};+\infty[\).
2b) Démontrer que \(f(x)\leq x \iff f(x)-x\leq 0\). Donc ici, tu peux étudier le signe de \(f(x)-x\) pour démontrer ton résultat.
Pour la variation de la suite, je te conseille de calculer les premiers termes afin de te faire une idée précise. Tu sembles confondre la variation de la fonction avec celle de la suite.
Bonne continuation.
pour commencer, la suite est-elle définie par \(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) et donc \(f(x)=\frac{1}{2}\times (x+\frac{2}{x})\) ?
Si c'est le cas, je suis d'accord avec la variation de \(f\) trouvée.
2a) c'est effectivement par récurrence que tu vas démontrer ce résultat. Tu sais que \(f(U_n)=U_{n+1}\)\(\)et que \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt{2};+\infty[\).
2b) Démontrer que \(f(x)\leq x \iff f(x)-x\leq 0\). Donc ici, tu peux étudier le signe de \(f(x)-x\) pour démontrer ton résultat.
Pour la variation de la suite, je te conseille de calculer les premiers termes afin de te faire une idée précise. Tu sembles confondre la variation de la fonction avec celle de la suite.
Bonne continuation.