arithmetique

[kadsos]

Bonjour

Démontrer que si a² est pair alors a est pair

J'ai trouvé ceci sur internet:

a pair:a=2k
a²=4k²=2(2k²) donc a² pair

a impair:a=2k+1
a²=(2k+1)²=4k²+4k+1=4(k²+k)+1 donc a² impair

Conclusion: si a² est pair alors a est pair

Je n'ai pas compris la conclusion!

Merci pour des réponses

[SoS-Math(31)]

Bonjour Kadsos,
Tout entier naturel a est soit pair, soit impair. Il n'y a pas d'autres possibilités.
On étudie alors les deux cas et on trouve que a² n'est pair que dans le cas a pair. D'où a² pair implique a pair.

[kadsos]

Merci pour la réponse.

Il y a aussi, je crois, une démonstration par l'absurde mais je ne me rappelle pas.

[SoS-Math(31)]

oui, elle est plus rapide pour montrer seulement l'implication a² pair implique a pair.
Par l'absurde : on suppose que a n'est pas pair
alors a s'écrit sous le forme 2k + 1 avec k entier
alors a² = (2k + 1)² ) = 4(k² + k) + 1 impair ce qui est absurde puisque a² pair.
On conclue donc a² pair implique a pair

La démonstration par disjonction des cas que tu as fait précédemment donne un peu plus que l'implication, on a équivalence entre a² pair et a pair.

[kadsos]

Bonjour

Je voulais revenir sur la citation de sos-math ( 31)

La démonstration par disjonction des cas que tu as fait précédemment donne un peu plus que l'implication, on a équivalence entre a² pair et a pair.

Tu veux dire: a² pair équivaut à a pair

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est bien cela, on a une équivalence : \(a^2\,\text{est pair}\Leftrightarrow a\,\text{est pair}\).
Bonne continuation

[kadsos]

Je ne vous cache rien sur ce forum: sur d'autres forums les intervenants disent que l'équivalence est fausse si on ne justifie pas que tout nombre pair s'écrit sous la forme 2(2k²).

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

Si a est pair alors a^2 est pair

Si a^2 est pair alors a est pair.

C'est une équivalence (à démontrer peut-être...)

A bientôt

[kadsos]

je me suis trempé:

voici ma citation:

Je ne vous cache rien sur ce forum: sur d'autres forums les intervenants disent que l'équivalence est fausse si on ne justifie pas que tout nombre pair s'écrit sous la forme 2(2k²).

Je voulais écrire:
Sur d'autres forums les intervenants disent que l'équivalence est fausse si on ne justifie pas que tout carré pair s'écrit sous la forme 2(2k²)

[SoS-Math(25)]

Cette équivalence est vraie. Maintenant, pour le démontrer, il faut aussi montrer que a^2 pair implique a pair et donc il faudrait effectivement montrer que a^2 s'écrit 4k^2.

Mais on peut passer autrement :

a pair => a=2k => a^2 = 4k^2 => a^2 pair.

a impair => a= 2k+1 => a^2 = 4k^2 + 4k + 1 => a^2 impair

Ainsi,

Si a^2 est pair c'est que a n'est pas impair (sinon a^2 aurait été impair) donc a est pair. (On vient démontrer que a^2 pair => a pair.)

Cela convient-il ?