spécialité

[benjamin]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre les 2 exercices suivants :

1) exercice 38 page 103 (éditions Belin Terminale) :

p et q sont deux entiers naturels premiers distincts.
Question : comment pouvez-vous expliquer qu'il existe deux entiers relatifs a et b tels que : a/p + b/q = 1/pq ?

2) Si n est un entier relatif impair, n et n+2 sont-ils nécessairement premiers entre eux ? Raisonnez de manière rigoureuse.

J'ai une idée pour la 1) : J'ai vu que l'on a : aq/pq + bp/pq = 1/pq donc (aq+bp)/pq=1/pq donc pq (aq+bp)= pq donc aq+bp=1.
Et là je reconnais le théorème de Bézout mais je ne sais pas comment raisonner rigoureusement et comment conclure, dans quel sens mettre les arguments...

Merci d'avance pour votre aide et bonne soirée.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Benjamin,

Pour la première question, tu as la bonne idée. Essaie de formaliser ta "proposition", essaie d'écrire la propriété (qui répond à la question) que tu as conjecturé. Il faudra ensuite la démontrer et là tu ne devrais plus avoir de problème pour savoir dans quel sens tu dois travailler.

Pour la deuxième question, que peux-tu dire d'un diviseur commun à n et à (n+2) ?

Bonne continuation.

[benjamin]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Justement, je n'arrive pas à formaliser ma réponse... Comment faire ?

Pour la deuxième question, je vois un diviseur commun qui est 2 mais uniquement si n est pair, sinon je ne vois pas...

J'espère que vous pourrez m'aider pour la suite.

[benjamin]

Bonsoir,

Je dois rendre mon devoir maison demain...

Pensez-vous avoir le temps de répondre à mes messages ? Je n'arrive toujours pas à formaliser mes réponses pour la 1) et à trouver la bonne réponse pour la 2.

Merci d'avance et bonne soirée.

[sos-math(21)]

Bonjour
Pour la première question, tu peux partir du fait que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux donc le théorème de Bezout s'applique, il existe deux entiers \(p\) et \(q\) tels que \(aq+bp=1\), il te reste ensuite à diviser par \(pq\).
Pour la deuxième, tu peux raisonner en supposant qu'il existe un diviseur commun \(k\) à \(n\) et \(n+2\) donc \(k|n\) et \(k|n+2\) donc \(k\) divise leur différence donc \(k|2\). Je te laisse conclure en faisant une disjonction de cas : \(n\) pair et \(n\) impair