Le raisonnement par récurrence

[marie-jeanne]

Bonjour j'ai un exo sur le fameux "raisonnement par récurrence" mais je bloque à la deuxième étape du raisonnement à savoir l'hérédité !
Si vous pouvez m'aider...

Démontrer que pour tout n appartenant à N\{0;1}, 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 > 3n/2n+1

Alors voici mon hypothèse de récurrence : 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 > 3n/2n+1 (Pn est vraie)
Du coup je doit démontré a présent que : 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 > 3(n+1)/2(n+1)+1
Mais je ne sais plus comment avancer dans mon resonnement...si vous pouvez me donner une piste...

MERCI

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie-Jeanne,

Pour passer de (Pn) à (Pn+1) il faut ajouter dans l'inégalité Pn 1/(n+1)^2 dans le membre de gauche, donc il faut faire la même chose dans le membre de droite ...
Tu as : 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 > 3n/2n+1
Tu ajoutes 1/(n+1)^2 : 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 > 3n/2n+1 + 1/(n+1)^2

Il te reste à prouver que 3n/2n+1 + 1/(n+1)^2 > 3(n+1)/2(n+1)+1 ... tu auras alors trouver Pn+1.

SoSMath.

[marie-jeanne]

Pour prouver que 3n/2n+1 + 1/(n+1)^2 > 3(n+1)/2(n+1)+1..............Je fait [3n/2n+1 + 1/(n+1)^2] - 3(n+1)/2(n+1)+1




Ce qui donne : [3n/2n+1+ 1/(n+1)^2] - 3(n+1)/2(n+1)+1
1 + (1/n^2 + 2n + 1) - 1
1/n^2 + 2n + 1

Or 1/n^2 + 2n + 1 > 0 DONC CELA PROUVE QUE 3n/2n+1 + 1/(n+1)^2 > 3(n+1)/2(n+1)+1

Est-ce que c'est bon ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marie-Jeanne,

Pour le calcul je trouve : \(\frac{3n}{2n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{3(n+1)}{2(n+1)+1} = \frac{n^2+2n}{(2n+1)(n+1)^2(2n+3)}\).

Pour le reste ton raisonnement est juste.

SoSMath.