Irrationalité de Racine carrée de 2

[Quentin]

Bonjour ,

J'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée.
Malheureusement , je suis vraiment très mauvais en math.

Sur les quelques exercices à faire , seul un me pause problème.

Voici l'énoncé :

On utilise la propriété suivante :

Soit p un nombre entier naturel.

Si p² est pair , alors p est pair.

Pour démontrer que Racine carée de 2 n'est pas un nombre rationnel ,on utilise un raisonnement par l'absurde. Supposons que Racine carée de 2 est un nombre rationnel.
Il existe alors deux nombres entiers positifs p et q tels que Racine carée de 2 = p sur q , la fraction p sur q étant irréductible.
Les nombres p et q sont premiers entre eux.

1) Démontrer que p² = 2q²
2) En déduire que p est pair. On note alors p=2p1 , où p1 est un entier positif. ( Le 1 est un symbole pour différencier.)
3) En déduire que q² est pair , puis que le nombre q est pair.
4) Que peut-on alors déduire pour la fraction p sur q ?
5) Conclure.


Voici l'énoncé. Après quelques relectures , il m'est impossible de comprendre quoi que ce soit.

Merci de votre aide.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Quentin,

Il est vrai que cela n'est pas un sujet facile....

1) L'idée est de commencer par écrire ce que dit l'énoncé :

"Supposons que racine carrée de 2 est un nombre rationnel...."

Cela veut dire que :

\(~\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) où p et q sont deux nombres entiers et la fraction p/q est irrréductible

Ensuite, mets au carré chaque membre de cette dernière égalité, tu devrais voir apparaître \(~p^2\) et \(~q^2\). Cela va te rapprocher de ce qui est demandé.

Bon courage.

[Quentin]

Bonjour ,

Je vous remercie , j'ai compris grâce à votre aide :)

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOSmath, Quentin.