Suites

[Lucas]

Bonsoir, voilà je bloque sur la dernière question de mon problème sur les suites ! Voici l'énoncé :

Pour égayer son magasin le gérant a decide d'y installer un aquarium de 300L
Au départ la place occupé par l'eau, les poissons et les divers accessoires occupent un volume de 280L; compte tenu de plusieurs facteurs le volume s'évapore de 2% chaque semaine.
Pour compenser un systeme rajoute 5L chaque semaine.
On note Vn le volume d'eau en L dans l'aquarium au bout de n semaines.

1° Exprimer Vn+1 en fonction de Vn

Vn+1 = 0,98Vn + 5


2°On considère An = Vn-250

a) Montrer que la suite est géometrique et calculer son premier terme

An+1 = Vn+1 - 250
= 0,98Vn + 5 - 250
= 0,98Vn - 245

Or, An = Vn - 250 donc Vn = An + 250

D'où : An+1 = 0,98 * ( An + 250 ) - 245

An+1 = 0,98An

Donc, pour tout n appartenant à N, (An) est une suite géométrique de raison q = 0.98

\(\A_{0}\) = \(\V_{0}\) - 250 = 280 -250 = 30


b)Exprimer an et vn en fonction de n ( Je suis pas trop sûr de mes réponses )

An = \(\A_{0}\) * 0,98^n = 30 * 0,98^n

Vn = An + 250 = 30 * 0,98^n + 250

3) l'aquarium risque t'il de deborder ? ( C'est là que je bloque vraiment )

Je suis à 95% sûr que l'aquarium ne risque pas de déborder car j'ai remarque que la suite était décroissante et de premier terme \(\V_{0}\) = 280 < 300 (le volume maximal).

Je sais qu'il faut faire Vn+1 - Vn mais je bloque vraiment sur le calcul ... :/


Merci de votre attention !

[sos-math(21)]

Bonjour,
selon tes calculs, tu as \(V_n=30 \times 0,98^n + 250\) : calcule la limite de cette suite et tu pourras conclure en y associant le sens de variation de la suite.