Aide pour la récurrence

[Claire]

Bonjour.

Je dois démontrer par récurrence que pour tout n appartenant au N la suite u(n) est supérieure ou égale à -2 sachant que u(0) = 1 et u(n+1) = 0,5*u(n) - 1.

Voilà le début de la démonstration mais je bloque à la fin.

Initialisation :
1 supérieur ou égal à -2 donc u(0) supérieur ou égal à -2
La propriété est vrais pour le rang 0.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que u(k) supérieur ou égal à -2.
On va montrer que la propriété est vraie pour un rang k+1.

u(k+1) >= -2
0,5*u(k) - 1 >= -2
u(k) >= -2
Sauf que je n'aboutis pas à une égalité de type u(k+1) >= -2.

Merci pour vos explications.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu n'es pas trop mal partie mais il vaut mieux partir de l'hypothèse de récurrence \(u_k\geq -2\)
et raisonner en termes d'opération : quelles opérations doit-on appliquer à cette inégalité pour avoir \(u_{k+1}\geq -2\)
Comme \(u_{k+1}=0,5u_k-1\), il faut faire deux opérations :
\(u_k\overset{....}{\longrightarrow}\ldots\ldots\overset{....}{\longrightarrow}0,5u_k-1\)
Je te laisse chercher un peu.
Bon courage

[Claire]

J'ai u(k)*0,5 >= -1 d'où u(k)*0,5 - 1 >= -2 donc u(k+1) >= -2

[sos-math(20)]

C'est exactement cela, Claire !

A bientôt sur SOSmath