Algorithme de somme

[Sophie]

Bonjour.

Je dois écrire un algorithme qui demande d'entrer une valeur n entier naturel supérieur ou égal à 1 et qui affiche en sortie la valeur :
p = 1 (sigma) n ; q = 1 (sigma) n valeur absolue de (p - q)

Comment peut-on faire ?

Ensuite, démontrer que : p = 1 (sigma) n ; q = 1 (sigma) n valeur absolue de (p - q) = n(n^2 - 1) / 3

Merci d'avance pour votre réponse. Je n'ai aucune idée de comment procéder.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Sophie,

Pour l'algorithme, il faut faire une boucle itérative (Pour ...) dans une boucle itérative ...
Pour p=1 à n
\(\vspace{3}\)Pour q=1 à n
\(\vspace{10}\).....
\(\vspace{3}\)Fin pour
Fin pour

La démonstration me semble bien compliquée pour une élève de première ... voici le début :
\(\sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}|p-q|=\sum_{p=1}^{n}(\sum_{q=1}^{p}(p-q)+\sum_{q=p+1}^{n}(q-p))=...\)

SoSMath.

[Sophie]

En effet, j'ai un peu de mal pour la démonstration. En fait, je ne comprends pas bien comment utiliser le symbole "sigma" (comment lire l'expression).

[sos-math(27)]

Bonjour Sophie,
Ce symbole permet d'écrire une somme longue (avec beaucoup de termes) de manière exacte et rigoureuse (c'est pour ne pas mettre ... )
Pour l'utiliser, il faut successivement substituer p et q dans la formule du sigma, par les entiers compris entre 1 et n . Effectivement, ce n'est pas simple quand on a DEUX sigmas imbriqués comme c'est la cas ici.

Pour donner un exemple plus simple : si on additionne les n premiers entiers, :
\(1+2+3+....+n=\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n \times (n+1)}{2}\)

C'est d'ailleurs cette formule qu'il faudra utiliser pour la démonstration. Comme l'a dit mon collègue, elle est difficile pour une élève de première. As tu réussi l'algorithme ? Si oui, tu peux aussi faire une vérification de la formule donnée (pas une démonstration), en calculant les somme et la formule pour plusieurs valeurs de n.

A bientôt

[Sophie]

Bon, je laisse la démonstration de côté.

Voici ce que j'ai fait pour l'algorithme :

Variables :
p, q : réels
n : entier naturel supérieur ou égal à 1

Traitement :
Pour p allant de 1 à n Faire
Pour q allant de 1 à n Faire
q prend la valeur n(n + 1) / 2
Fin Pour
p prend la valeur n(n + 1) /2
FinPour

Sortie :
Afficher (valeur absolue) de (p - q)

[sos-math(21)]

Bonjour,
une idée de démonstration :
si tu fais un tableau de dimension \(n\times n\) et que tu marques à chaque emplacement p ième ligne et q-ième colonne \(a_{pq}=|p-q|\) , tu te retrouves avec un tableau de cette forme ici n=6\(\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5\\1&0&1&2&3&4\\2&1&0&1&2&3\\3&2&1&0&1&2\\4&3&2&1&0&1\\5&4&3&2&1&0\end{pmatrix}\).
Tu te rends compte qu'il y a une symétrie et que la somme de tout le tableau est égale à 2 fois celle du triangle inférieur.
Dans ce triangle, tu as \(n\) diagonales de nombres égaux :
1ère diagonale : \(n\) nombres tous égaux à 0 : somme égale à 0
2ème diagonale : \(n-1\) nombres tous égaux à 1 : \((n-1)\times 1\)
3 ème diagonale : \(n-2\) nombres tous égaux à 2 : \((n-2)\times 2\)
et ainsi de suite de sorte que ta somme S est égale à \(S=2\sum_{k=0}^{n}(n-k)\times k=2\sum_{k=0}^{n}nk-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
donc \(S=2n\times \sum_{k=0}^{n}k-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
Sachant que \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\) et \(\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Je te laisse finir le calcul.
Pour ton algorithme, c'est faux, il faut que tu fasses une double somme avec une boucle "Pour" imbriquée dans une autre boucle "Pour".

Bon courage