Encadrement de la solution.

[Mattéo]

Bonsoir,

Lors de mon DM de maths, j'ai trouvé que l'équation f(x)=2x-2+\(\frac{\sqrt{x}}{n}\) admettait une solution unique su l'interval [0;+\(\infty\)[ grâce au théorème de la bijection. Maintenant je doit justifier que pour tout entier naturel n : 0<an<1
Mais je bloque depuis un petit moment pourriez vous m'aider svp ?
( an étant la solution trouvée à l'équation f(x)=0.)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
C'est lié au théorème de bijection :
tu connais le sens de variation de f sur \([0\,;\,1]\) et tu sais que ta fonction est continue
calcule les images de de f(0)<0 et f(1)>0 (à prouver).
Le théorème des valeurs intermédiaires (ou le théorème de la bijection) assure que f définit une bijection de \([0\,;\,1]\) vers \([f(0)\,;\,f(1)]\).
Comme \(0\in[f(0)\,;\,f(1)]\) (d'après le signe des images calculées plus haut), 0 a un unique antécédent dans \([0\,;\,1]\), autrement dit il existe une unique solution \(a_n\in[0\,;\,1]\) pour l'équation f(x)=0. donc \(0\leq a_n\leq 1\)
de plus comme \(f(0)\neq 0\) et \(f(1)\neq 0\), l'inégalité est stricte.
Est-ce plus clair ?

[Mattéo]

Oui merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Bonne continuation,
à bientôt sur sos-maths