énigme

[pauline]

Bonjour j'ai besoin d'aide. Notre prof de math nous a donné l'énigme suivante: prouver que lorsqu'on retranche au cube d'un nombre entier ce nombre lui même, on obtient un multiple de 3.
Ce qui équivaut à l'équation x au cube - x = 3y si et seulement si, x au cube - x - 3 y = 0 si et seulement si x ( x² - 1) - 3 y =0.
J'ai essayé en calculant le vecteur directeur de la droite( je ne sais pas si c'est possible avec un équation du 3 degré) qui faisait (-x²+1;-3) mais cette hypothèse n'est pas possible puisque -1+1 n'est pas égale à -3.
J'aurais besoin d'une piste je n'ai pas d'autre idée.
Merci d'avance

[sos-math(20)]

Bonjour Pauline,

Il n'est en effet pas question d'équation de droite ici.

Revenons à votre expression de départ : \(x^3 - x = x( x^2 -1)= ....\).
Je vous invite à poursuivre la factorisation puis à bien regarder chacun des trois facteurs présents dans la forme factorisée, sachant bien sûr qu'il ne faut pas oublier qui x représente un entier.

bon courage

SOS-math

[pauline]

Merci j'ai donc trouvé x(x-1)(x+1)= 3y il faut le basculé de l'autre coté le 3 y et après on ne peut plus factorisé ? Je ne comprends pas l’intérêt de faire ça
merci de votre réponse précedente

[sos-math(20)]

Ici il n'y a pas de lieu de prendre 2 inconnues x et y, on ne te demande pas de résoudre une équation.

Regarde simplement l'expression factorisée avec des x, donne du sens à (x-1) et (x+1) par rapport à x sachant que x est un entier et essaie alors de voir pourquoi le produit de trois termes sera nécessairement un multiple de 3.

SOS-math

[pauline]

sachant que x est un entier, x+1 est l'entier au dessus et x -1 est l'entier en dessous donc le produit d'une suite de nombres entiers donne un résultat divible par 3 ?

[sos-math(20)]

Quand tu considères trois entiers CONSECUTIFS, tu es certaine que l'un des trois est ..... ?
(Fais des essais pour répondre à cette question)

SOS-math

[pauline]

Ah merci beaucoup j'ai enfin compris :)

[sos-math(20)]

Bonne fin de journée et à bientôt sur SOS-math, Pauline.