matrices

[MArie TS]

Bonjour, dans un exercice de spé math, j'ai une matrice J(2;2) dont tous les coeficients sont egals a 1. La question est: soit un entier naturel n au moins égal a 1. Conjecturer puis démontrer une expression de J^n en fonction de n de de la matrice J. Je me doute que pour la demonstration il s'agit d'une recurence. En tapant a la calculette, il me semble que les coeficient des matrices obtenues sont multiple de 4. Mais je n'ai pas bien compris la question et je ne sais pas quoi conjecturer! Pouvez vous m'aider svp?

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est un peu plus précis :
\(A^1\)->> que des 1
\(A^2\)->>> que des 2
\(A^3\)->>> que des 4
\(A^4\)->>> que des 8
\(A^5\)->>> que des 16
J'ai plutôt l'impression que ce sont des puissances de 2....

[MArie TS]

Merci, je conjecture donc que J^n=2^(n-1)*J. ma recurence vise alors a montrer que J^n+1=2^n*J si j'ai bien compris
mon initialisation est vrai je pense mais je reste bloquée sur l'hérédité:
J^n=2^(n-1)*J
J^n *J= 2^(n-1)*J *J
J^n+1= 2^(n-1)*J²
je pense qu'il y a erreur pouriez vous m'aider svp?

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est correct,
Pour la fin tu n'es pas loin, il suffit de repasser à l'écriture matricielle :
\(J^n=2^{n-1}\times J^2=2^{n-1}\times \left(\begin{array}{cc}2&2\\\2&2\end{array}\right)\) et tu peux "extraire" le 2 de \(J^2\).
Bonne continuation

[MArie TS]

Ah merci, mais je ne comprend pas bien, comment cela extraire le 2 de J²? je ne comprend pas trop ce que je dois obtenir

[SoS-Math(25)]

Bonjour Marie,

Tu as donc : \(~J^{n+1}=2^{n-1}\times J^2= ...\)

Mais comment écrire \(~J^2\) en fonction de J ?

Tu dois aboutir à ceci :

Merci, je conjecture donc que J^n=2^(n-1)*J. ma recurence vise alors a montrer que J^n+1=2^n*J si j'ai bien compris

Tu y es presque !

A bientôt !

[MArie TS]

Ah d'accord je crois que j'ai compris:
J^(n+1)=2^(n-1)*J²
J^(n+1)=2^(n-1)*2J
J^(n+1)=2*(2^n *J)
c'est bien cela? mais dans ce cas comment se debarasser du 2?

[SoS-Math(25)]

C'est cela ! (En corrigeant une erreur :)

Comment passes-tu de

\(~J^{n+1}=2^{n-1}\times 2J\)

à

\(~J^{n+1}=2\times (2^{n}\times J)\) ?

Que vaut \(2^{n-1}\times 2\) ?

Tu y es presque, bon travail !

[MArie TS]

Ah j'ai compris!! merci beaucoup de votre aide!