Suites

[hidalgo]

Bonjour, je rencontre des difficultés dans un DM et j'aimerais avoir de l'aide. Voici l'exercice : On admet l’encadrement (E) : « pour tout réel x appartient à [0 ;pi], x-(x^3/6) inférieur ou égale à sinx inférieur ou égale à x ». On pose pour tout n appartenant à N*, Un=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2) et Vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2 . L’objectif est d’étudier la convergence de la suite (Un). 1) Déduire de l’encadrement (E) que, pour tout n appartenant à N* , Un inférieur ou égale à Vn 2) A) Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^3 B) En déduire, à l’aide de l’encadrement (E), que pour tout n apparenant à N* , Vn-(1/6n^2) inférieur ou egale à Un. Le problème que je rencontre est dans la question 2)a). Je vois bien que c'est vrai mais je n'arrive pas à le démontrer même avec la récurrence sa ne fonctionne pas! Je vous remercie d'avance!

[sos-math(12)]

Bonjour :

rien d'étonnant à cela, la propriété que tu essayes de démontrer est fausse.
\(1^3+2^3=1+8=9\). tu vas avoir du mal à justifier que \(9 \le 8\).

Il y certainement une erreur dans ton énoncé.

Bonne continuation.

[hidalgo]

ah oui d'accord!! Merci

[hidalgo]

je suis vraiment dsl je me suis trompée en tapant l'énnnoncé!

2)Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^4

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

As-tu réussi cette question ?

A bientôt !

[hidalgo]

non je ne trouve toujours pas de réponse..

[SoS-Math(9)]

Bonjour Hidalgo,

Pour la question 2a, la récurrence marche bien ...
Avec ton hypothèse de récurrence tu as au rang n : 1^3+2^3+…+n^3 =< n^4
Tu ajoutes dans chaque membre (n+1)^3 : 1^3+2^3+…+n^3 + (n+1)^3 =< n^4 + (n+1)^3
Il ne te reste plus qu'à montrer que n^4 + (n+1)^3 < (n+1)^4 ...
Rappel : Pour comparer deux nombres, on étudie souvent le signe de la différence.

SoSMath.

[hidalgo]

Je reviens vers vous, car je n'arrive pas non plus avec le 2)b)..
Pouriez vous m’éclairer?

[sos-math(20)]

Applique le côté gauche de l'inégalité (E) à \(sin(\frac{1}{n^2})\) puis à \(sin(\frac{2}{n^2})\), etc jusqu'à \(sin(\frac{n}{n^2})\). Ensuite additionne entre elles ces n inégalités obtenues puis utilise ce que tu as démontré dans les questions précédentes pour arriver au résultat souhaité.

Bon courage

SOS-math