Bonsoir, je voudrais de l'aide pour un exercice sur la fonction exponentielle. Je tiens à préciser que mon exercice est assez long pour un exercice d'entrainement. C'est un exercice de terminale S.
Soit f la fonction definie sur R par f(x)= e^x / (e^x + 1)
Questions :
1. Prouver que f(x) = 1 / (1 + e^-x). Question, que j'ai réussi.
2. Calculer les limites de f en plus et moins l'infini. Question que j'ai aussi réussi.
3. Etudier les variations de f et tracer C la courbe représentative de f(x). Question que je n'ai pas su faire.
4. Prouver que i (0 ; 1/2 ) est centre de symétrie de C . Question que je n'ai pas su faire.
5. Démontrer une équation de la tangente T à C en i . Question que je n'ai pas su faire.
6. Soit y(x) = (1/4) x + (1/2) - f(x)
a. Prouver qye y'(x) = (e^x - 1)² / 4 (e^x +1)² . Question que je n'ai pas su faire, je n'arrive aps au même résultats avec les formules de dérivées.
b. Donner le sens de variation de y . Question que je n'ai pas su faire.
c. Calculer y(0) et en deduire le sens de y(0). Quelle interprétation graphique du signe de y peut on onner à l'aide de C et T. Question que je n'ai aps su faire.
Votre aide me serait très précieuse.
Nicole.
Etude de fonction exponentielle
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SoS-Math(4)
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Re: Etude de fonction exponentielle
Bonjour Nicole,
3) Pour les variations de f, tu dois calculer la fonction dérivée. Fais attention que f(x) est un quotient, et qu'il faut donc appliquer la formule pour la dérivée d'un quotient.
j'attends ta réponse.
4) Tu as dans ton cours une conbdition pour que le point I(a,b) soit centre de symétrie de Cf. Ici l'ensemble de définition est IR, donc il suffit de montrer que f(a-x)+f(a+x)=2b pour tout x dans IR.
tu fais a=0 et b=1/2, et tu as donc l'égalité que tu dois montrer. Tu calcules le premier membre et après quelques lignes de calculs tu dois aboutir au deuxième membre de cette égalité.
j'attends ta réponse.
5) Equation de tangente aupoint A d'abscisse a : y=f '(a)(x-a) +f(a)
applique cette formule à ta fonction.
sosmaths
3) Pour les variations de f, tu dois calculer la fonction dérivée. Fais attention que f(x) est un quotient, et qu'il faut donc appliquer la formule pour la dérivée d'un quotient.
j'attends ta réponse.
4) Tu as dans ton cours une conbdition pour que le point I(a,b) soit centre de symétrie de Cf. Ici l'ensemble de définition est IR, donc il suffit de montrer que f(a-x)+f(a+x)=2b pour tout x dans IR.
tu fais a=0 et b=1/2, et tu as donc l'égalité que tu dois montrer. Tu calcules le premier membre et après quelques lignes de calculs tu dois aboutir au deuxième membre de cette égalité.
j'attends ta réponse.
5) Equation de tangente aupoint A d'abscisse a : y=f '(a)(x-a) +f(a)
applique cette formule à ta fonction.
sosmaths
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Invité
Re: Etude de fonction exponentielle
Je vais essayer cet après-midi, je vous tiendrai au courant dans la soirée. Merci.
Nicole.
Nicole.
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Invité
Re: Etude de fonction exponentielle
Désolé, j'ai eu des problèmes de connexions, je n'ai donc pas pu me connecter avant.
Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)
De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.
Merci de votre aide.
Nicole.
Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)
De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.
Merci de votre aide.
Nicole.
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Invité
Re: Etude de fonction exponentielle
Désolé, j'ai eu des problèmes de connexions, je n'ai donc pas pu me connecter avant.
Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)
De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.
Merci de votre aide.
Nicole.
Pour étudier les variation de f j'ai calculé les dérivés. J'en ai calculer 2 pour vérifier mais elles sont differentes, je ne vois pas mon erreur.
Je suis parti de f(x) = 1 / (1 + e^-x). Jai utilisé la formule (1/v)' = -v'/v². Avec v = 1+e^-x et v' = - e^-x
Ce qui me donne f'(x) = - (-e^-x) / (1+ e^-x)² = (e^-x) / (1+ e^-x)².
Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Ce qui me donne f'(x) = ( e^x . e^x - e^x . e^x ) / (e^x +1)² .
Je ne treouve pas mes erreurs, du coup je n'ai pas réussi a faire la question 5)
De ce qui est pour la question 4) J'ai redigé ceci d'après votre formule : f(0-x) + f(0+x) = 2 . (1/2)
Ce qui donne f(-x)+ f(x) = 1
Je remplace : ( 1/1+e^x) + ( 1/e^-x) = 1
Et je ne sais pas comment aboutir.
Merci de votre aide.
Nicole.
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SoS-Math(7)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:04
Re: Etude de fonction exponentielle
Bonsoir Nicole,
Je te laisse finir tes calculs (le premier calcul de dérivée est juste).
A bientôt
SOS Math
Ton erreur vient de la définition de v, ici \(v=e^x+1\)Pui j'ai voulu vérifier avec f(x) = e^x / e^x +1. Cette fois ci j'ai utilisé (u/v)' = u'v-v'u /v². Avec u = e^x ; u' = e^x ; v = e^x ; v' = e^x.
Je te laisse finir tes calculs (le premier calcul de dérivée est juste).
A bientôt
SOS Math
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Invité
Re: Etude de fonction exponentielle
Merci beaucoup. Cependant quand je fais le tableau de variation je me demande (avec une fonction exponenetielle)
s'il existe des valeurs x tel que lorsque (fx)=0, car autrement j'ai alors une fonction f croissante c'est cela ?
En ce qui concerne la question 4) j'ai réussi a trouver que c'est egal a 1. Voici mon calcul : avec a = 0 et b = 1/2
D'apres la formule et en remplacant, j'ai ceci : f(-x) + f(x) = 1
J'ai dabord calculer f(-x) + f(x) a part qui me donne 1, ce qui correspond au resultat recherché.
Pour ce qui est de la question 5 J'ai trouver une tangente égale à y= 0,25 x + 0,5 (j'espere qu'elle est juste).
Je vais essayer de faire la question 6) et je vous donnerai mes resultats en esperant que j'y arrive.
Merci beaucoup.
Nicole.
s'il existe des valeurs x tel que lorsque (fx)=0, car autrement j'ai alors une fonction f croissante c'est cela ?
En ce qui concerne la question 4) j'ai réussi a trouver que c'est egal a 1. Voici mon calcul : avec a = 0 et b = 1/2
D'apres la formule et en remplacant, j'ai ceci : f(-x) + f(x) = 1
J'ai dabord calculer f(-x) + f(x) a part qui me donne 1, ce qui correspond au resultat recherché.
Pour ce qui est de la question 5 J'ai trouver une tangente égale à y= 0,25 x + 0,5 (j'espere qu'elle est juste).
Je vais essayer de faire la question 6) et je vous donnerai mes resultats en esperant que j'y arrive.
Merci beaucoup.
Nicole.
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Etude de fonction exponentielle
Bonsoir Nicole,
Oui ta fonction est strictement croissante sur R (attention à ne pas oublier l'inervalle ... sinon cela n'a pas de sens).
D'après ton calcul de limites, et ton tableau de variations, tu peux en déduire que pour tout x de R, 0 < f(x) < 1. Donc ici il n'y a pas de x tel que f(x) = 0.
Pour la question 4), cela semble juste.
L'équation de ta tangente est juste.
Bon courage,
SoSMath.
Oui ta fonction est strictement croissante sur R (attention à ne pas oublier l'inervalle ... sinon cela n'a pas de sens).
D'après ton calcul de limites, et ton tableau de variations, tu peux en déduire que pour tout x de R, 0 < f(x) < 1. Donc ici il n'y a pas de x tel que f(x) = 0.
Pour la question 4), cela semble juste.
L'équation de ta tangente est juste.
Bon courage,
SoSMath.
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Invité
Re: Etude de fonction exponentielle
Merci beaucoup. pour ce qui est de la question 6 jai réussi a l'aide d'un ami.
Merci de votre aide, à Bientot .
Merci de votre aide, à Bientot .
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SoS-Math(10)
Re: Etude de fonction exponentielle
A bientôt sur sos math