Tangente / bissectrice

[Cindy]

Bonjour,

Excusez-moi de vous déranger

Alors voilà j'ai un problème dans un exercice ( le 51 p.265 collection prisme 4 eme ) il faut trouver une longueur je vous décrit la figure : un cercle O dont en connais le rayon ( 6 378 km), on a un rayon du cercle le segment AO et la droite AS est tangente en A au cercle de centre O puis on a un autre rayon du cercle le segment OB et la droite SB est tangente en B au cercle de centre O. Ensuite on a la demi droite OS) sur laquelle est situe le point T, il faut calculer le segment TS donc il faut faire OS moins OT en sachant que OT est un rayon du cercle. Je pense qu il faut prouve que la demi-droite OS est une bissectrice puis calculer l angle OSA car on sait que l angle ASB mesure 150 degrés donc comme une bissectrice partage un angle en 2 angles adjacent et de même mesure l angle OSA mesure 75 degrés puis a ce moment là on calcule l angle AOS car dans un triangle la somme des angles est egal a 180 degres donc ASO + AOS +OAS = 180 donc 75 + AOS + 90 = 180 donc 180 - (75 + 90) = 15 puis une fois que loi sait que l angle AOS = 15 degres on peut faire un cocinus cos AOS =pour calculer OS une fois que OS est calculer on fait OS - OT dont on sait la mesure car il est le rayon du cercle et on trouve ST pas de problème. Mais je n'arrive pas a savoir comment démontrer que la droite OS est une bissectrice. Je sais qu'il faut utiliser la propriété : si un point situé entre les cotés d'un angle saillant est équidistant des cotes de cet angle alors il appartient a la bissectrice de cet angle, donc il faut prouver que le point T est equidistant des extrémités de l'angle ASB soit les cotes AS et SB mais ce n est pas indique qu il est équidistant de ces cotes pourriez vous me dire comment il faut faire pour le démontrer ?
Merci beaucoup j attend vos réponse avec impatience
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ton raisonnement est correct, il te reste effectivement à prouver que (OS) est la bissectrice de \(\widehat{ASB}\).
Pour cela, tu as vu que les tangentes sont perpendiculaires aux rayons passant par le point de contact donc \((OA)\perp (AS)\) et \((OB)\perp (BS)\).
Ainsi, la distance de O à (BS) est égale à OB=R (le rayon du cercle).
De même la distance de O à (AS) est égale à OA=R.
Donc le point O est à égale distance des deux côtés (AS) et (BS) de l'angle \(\widehat{ASB}\), il appartient donc à la bissectrice de cet angle : finalement, (OS) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{ASB}\).
Est-ce plus clair ?