Eponge de Menger

[Camille]

Bonjour, pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît ?

L'éponge de Menger est un objet mathématique que l'on fabrique de la manière suivante :
(Faire les calculs avec les valeurs exactes, puis faire une approximation. Justifier vos réponses).

1. On part d'un cube de 81 cm d'arête. On découpe ce cube en 27 petits cubes identiques, puis on enlève le cube central et les cubes situés au centre de chaque face : soit 7 cubes au total.
Combien reste-t-il de cubes ?
Je pense qu'il reste 27-7 = 20 cubes.
Combien mesure leur arête ?
Je pense que leur arête mesure \(\frac{81}{3}\) = 27 cm.
Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette étape ?
Je pense que le volume du solide obtenu après cette étape est \(81^{3}-27^{3}\times7 = 393 660 cm^{3}\).

2. On répète l'étape 1 pour chacun des cubes restants.
Combien reste-t-il de cubes ?
Combien mesure leur arête ?
Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette deuxième étape ?

Pourriez-vous me dire si la question 1 est juste et m'expliquer la question 2 s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Camille,

Ce que tu as fait à la première étape est juste.
Pour la deuxième question, il faut refaire 20 fois la même chose, à savoir :
Partir du cube d'arête 27 cm, découper ce cube en 27 petits cubes identiques, puis enlever le cube central et les cubes situés au centre de chaque face : soit 7 cubes au total.
Quelle est alors l'arête des cubes et reprends les calculs faits...

Bonne continuation.

[Camille]

Bonjour, je pense avoir trouvé un calcul pour la question 2, je fais 27/3 = 9 et je retire les 7 cubes soit 9-7=2 Il nous reste donc 2 cubes.

[Camille]

2. Je pense qu'il reste 27-7 = 20 cubes.
Je pense que leur arête mesure \(\frac{27}{3}\) = 9 cm.
Je pense que le volume du solide obtenu après cette deuxième étape est \(27^{3}-9^{3}\times7=14580cm^{3}\).

[SoS-Math(7)]

Bonjour Camille,

La difficulté dans ce type de calcul est de ne pas se perdre... Après la première étape, il reste 20 "petits cubes" d'arête 27 cm.
Dans chacun des "petits cubes" tu reproduis la procédure. Le côté de chaque "petit petit cube" est bien 9 cm. On retire bien 7 cubes donc il en reste bien 20.

Pour chaque "petit cube" le nouveau volume est donc bien de 14580 (sauf si tu as commis une erreur de calcul...).
Maintenant, quel est le volume de "l'éponge" ?

Je te laisse reflechir.
Bonne continuation.

[Camille]

Je pense que le volume de l'éponge est \((27^{3}-9^{3}\times7)\times20\) = 14 580 \(\times\) 20 = 291 600 \(cm^{3}\).

[SoS-Math(7)]

C'est cela !

Bonne continuation et à bientôt sur sos math.

[Camille]

On me demande ensuite de dire ce que fait cet algorithme et de justifier.

Variables :
n,c nombres entiers, a,v nombre réels
Début algorithme :
c \(\leftarrow\) 1, a \(\leftarrow\) 1
Afficher " nombre d'étapes : "
Saisir n
Pour k allant de 1 à n au pas de 1 faire :
c \(\leftarrow\) 20 \(\times\) c, a \(\leftarrow \frac{a}{3}\), v \(\leftarrow\) c \(\times a^{3}\)
Fin pour k
Afficher v
Fin algorithme

Je pense que cet algorithme trouve le volume de l'éponge à partir de l'étape qu'on lui a renseigné.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Effectivement, cet algorithme donne bien le volume de l'éponge en fonction de l'étape. Il faut cependant justifier un peu ta réponse surtout que la démarche que tu as choisie pour calculer le volume de l'éponge ne correspond pas directement à celle utilisée par l'algorithme...

Que représentent les variables c et a ?

Bonne continuation.

[Camille]

La variable c représente le nombre total de côtés du cube et la variable a représente la longueur de l'arête du cube.

[SoS-Math(7)]

Très bien,

Comment cet algorithme propose-t-il de calculer le volume de l'éponge ?

A bientôt.

[Camille]

Cet algorithme propose de calculer le volume de l'éponge en commençant avec un nombre de côté de 1 et une longueur d'arête de 1 cm. En fonction de la valeur du nombre d'étapes, il associe le nombre de côtés à 20 multiplié par le nombre de côtés à l'étape précédente et la longueur de l'arête a la longueur de l'arête à l'étape précédente divisé par 3. Il calcule ensuite le volume en faisant le nombre de côtés à l'étape précédente multiplié par la longueur de l'arête à l'étape précédente au cube.

[SoS-Math(7)]

Désolée Camille, j'ai lu trop rapidement ta précédente réponse. c ne représente pas le nombre de côtés. Il faut que tu corriges cette erreur pour pouvoir avancer de façon juste.

Bonne correction.

[Camille]

c représente la longueur totale des côtés des cubes.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Non Camille, la longueur totale des arêtes du cube n'est pas une information très intéressante pour le calcul du volume... c représente le nombre de cubes à chaque étape.
Initialisation des variables : c est à 1 et a est à 81 (je pense que là il y a une erreur)
Première étape : il y a alors 20 cubes d'arête 81/3 donc le volume vaut ...
Deuxième étape : on a alors 20*20 cubes d'arête 27/3 et donc le volume vaut...


Je te laisse réfléchir.