pgcd

[Valentine]

Bonjour

Pouvez-vous me dire si la rédaction est correcte svp.
exercice: Démontrer que le plus grand diviseur commun de a+b et 2a+3b est celui de a et b.

Soit d un diviseur commun à a et b, on écrit donc d|a et d|b.
Par combinaison linéaire on obtient d|a+b
De plus par combinaison linéaire on a d|2a+3b.
Donc D(a;b)=D(a+b)=D(2a+3b) (est-ce que c'est correct d'écrire ça ou faut-il écrire D(a;b)=D(a+b;2a+3b) )

Réciproquement; soit d un diviseur commun à a+b et 2a+3b, on écrit donc d|a+b et d|2a+3b.
Par combinaison linéaire on a d|3(a+b)-(2a+3b) soit d|a.
Par combinaison linéaire on a d|2a+3b-2(a+b) soit d|b.
Donc D(a+b;2a+3b)=D(a)=D(b) (est-ce que c'est correct d'écrire ça ou faut-il écrire D(a+b;2a+3b)=D(a;b) )

Ceci prouve que Pgcd(a+b;2a+3b)=Pgcd(a;b)

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il faut être un peu plus précis :
note \(d_1=pgcd(a,b)\) et \(d_2=pgcd(a+b,2a+3b)\)
Ta démonstration dans le premier sens en prenant \(d_1\) montre que \(d_1\) est un diviseur commun à \(a+b\) et \(2a+3b\). Par définition du PGCD, on a alors \(d_1|d_2\).
dans l'autre sens, on aurait \(d_2|d_1\).
Finalement, les nombres étant des entiers naturels, on a \(d_1=d_2\)
Est-ce que cela te convient ? Tu peux aussi raisonner sur l'ensemble des diviseurs, et alors dans ce cas là, on travaille sur des inclusions d'ensemble.... mais c'est plus compliqué

[Valentine]

Je n'ai pas très bien compris.

Soit p un diviseur commun à a et b, on écrit donc p|a et p|b.
Par combinaison linéaire on obtient p|a+b
De plus par combinaison linéaire on a p|2a+3b.
Donc p|a , p|b , p|a+b et p|2a+3b

Réciproquement; soit d un diviseur commun à a+b et 2a+3b, on écrit donc d|a+b et d|2a+3b.
Par combinaison linéaire on a d|3(a+b)-(2a+3b) soit d|a.
Par combinaison linéaire on a d|2a+3b-2(a+b) soit d|b.
d|a+b, d|2a+3b, d|a et d|b

Par conséquent p=d

C'est bon jusqu'ici ?

Comment justifier que D(a+b;2a+3b)=D(a;b) et donc PGCD(a+b;2a+3b)=PGCD(a;b)


Merci encore

[sos-math(21)]

Non,
tu montres seulement qu'un diviseur commun à \(a\)et\(b\) est un diviseur commun à \(a+b\) et \(2a+3d\). Ce qui signifie de manière ensembliste que \(\mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)\subset\mathcal{D}(a+b)\cap\mathcal{D}(2a+3b)\) (en notant \(\mathcal{D}(a)\) l'ensemble des diviseurs de \(\)
Dans l'autre sens, tu montres l'inclusion inverse : \(\mathcal{D}(a+b)\cap\mathcal{D}(2a+3b)\subset \mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)\)
Finalement cette double inclusion donne l'égalité des ensembles : \(\mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)=\mathcal{D}(a+b)\cap\mathcal{D}(2a+3b)\)
Ensuite, en considérant que le pgcd de \(a\) et \(b\) est le plus grand élément de \(\mathcal{D}(a)\cap\mathcal{D}(b)\), tu peux conclure que deux ensembles égaux ont le même plus grand élément.
Voilà ce qu'il faudrait dire pour conclure ta démonstration : la preuve que je te proposais me semblait plus simple.
A toi de voir

[Valentine]

Je ne comprends pas très bien les inclusions.

c'est peut-être trop demander, mais pouvez vous me rediger l'exercice en vous inspirant de ce que j'ai fais ?


Merci d'avance

[sos-math(21)]

Tu dois pouvoir t'en sortir avec ce que tu as écrit :
écris ta première partie et en conclusion, tu mettras ma première inclusion.
Ensuite même chose pour la deuxième partie.
Au final, tu auras montré la double inclusion ce qui entraîne l'égalité des ensembles et le reste a déjà été dit.
Je te le répète, cette formulation est un peu "post-bac" car assez abstraite.
Je pense que tu devrais te limiter à ma première proposition utilisant le pgcd.
Mais je te laisse libre.

[Valentine]

Je n'ai pas envie de raisonner avec les inclusions car je ne comprends pas grand chose.

Mais je ne comprends pas votre premier message.
J'aimerais raisonner d'abord avec les ensemble de diviseur puis passer au pgcd.

Je ne comprends pas ce qu'il faut que j'ajoute ou que je modifie. Faut-il que je distingue les deux d des deux parties ?

Soit d un diviseur commun à a et b, on écrit donc d|a et d|b.
Par combinaison linéaire on obtient d|a+b
De plus par combinaison linéaire on a d|2a+3b.

Réciproquement; soit d un diviseur commun à a+b et 2a+3b, on écrit donc d|a+b et d|2a+3b.
Par combinaison linéaire on a d|3(a+b)-(2a+3b) soit d|a.
Par combinaison linéaire on a d|2a+3b-2(a+b) soit d|b.


Merci encore

[sos-math(21)]

Tu ne fais pas un raisonnement complet :
- si tu raisonnes sur les diviseurs, alors il faut montrer l'égalité des ensembles avec la double inclusion ;
- si tu raisonnes avec les pgcd, il faut montrer la divisibilité réciproque de l'un et l'autre pour conclure à l'égalité des nombres : ce que j'ai fait.
reprends cela.

[Valentine]

Tout diviseur de a et b est un diviseur:
-de leur somme a+b
-de 2a et de 3b, donc également de 2a+3b.
Les diviseurs de a et b sont donc des diviseurs de a+b et 2a+3b.
Réciproquement, tout diviseur commun à a+b et 2a+3b divise:
-3(a+b) et 2a+3b, donc la différence 3(a+b)-(2a+3b) soit a
-2(a+b) et 2a+3b, donc la différence (2a+3b)-2(a+b) soit b
les diviseurs de a+b et 2a+3b sont donc des diviseurs de a et b.
On en déduit que les diviseurs de a+b et 2a+3b sont les diviseurs de a et b, ce qui prouve PGCD(a+b,2a+3b)=PGCD(a;b)

Je n'arrive pas à utiliser le langage mathématique

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Valentine,

Ta démarche me semble bien compliquée...
Soit d=PGCD(a+b ; 2a+3b)

2a+3b=2(a+b)+b donc PGCD(a+b ; 2a+3b)=PGCD(a+b;b)
et a+b-b=a donc PGCD(a+b ; 2a+3b)=PGCD(a;b)

A bientôt.

[Valentine]

Je n'ai pas encore vu cette propriété du PGCD ( Pgcd(a;b)=pgcd(a-kb;b))

C'est pour cette raison que j'utilise les ensemble de diviseurs

Donc j'aimerais démontrer que Pgcd(a+b;2a+3b)=Pgcd(a;b) sans utiliser cette propriété.
J'aimerais surtout savoir comment rédiger.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta rédaction n'est pas trop mal.
Mais ce serait tellement plus simple si tu travaillais directement sur le pgcd : c'est ce que je te dis depuis plusieurs messages, surtout que j'ai déjà fait quasiment toute la rédaction dans l'un de mes messages.
Je ne vois pas pourquoi tu insistes tant avec cette démarche que j'ai déjà jugée délicate pour un niveau terminale.
Bonne continuation.

[Valentine]

Mais je ne vois pas comment faire avec le pgcd, comment commencer

[sos-math(21)]

Reprends l'un de mes messages d'hier : tout y est !
Bonne relecture.