fonction et limite de fonction

[Claire]

Bonsoir,
J'ai une exercice à faire pour lundi, j'ai pratiquement tout fait mais il y a des questions où je ne suis vraiment pas sûre...

Voici l'exercice :

1) Soit g la fonction définie sur IR par g(x)= x^3-3x-4
a) Etudier les variations de g. Présenter le tableau de variation complet avec, entre autres, les limites aux bornes du domaine.
b) Montrer qu'il existe un unique réel alpha tel que g(alpha)=0, puis donner son encadrement.

2) Soit f la fonction définie sur IR/{-1;1} par f(x)=x^3+2x²/(x²-1) et soit cf sa représentation graphique dans un repère.
a) Montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme x+2+(X+2)/(x²-1)
b) Calculer les limites en -1 et en 1. Donner une interprétation graphique de ces résultats.
c) Montrer que cf admet une asymptote oblique dont on donnera l'équation
d) Etudier la position relative de cf par rapport à delta

3) Montrer que f'(x)= xg(x)/(x²-1)² En utilisant les résultats du &, donner le tableau de variation de f

Mes résultats :

1) J'ai réussi à faire toute la première question

2)
a) Je n'ai par contre pas réussi à montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme x+2+(X+2)/(x²-1). J'ai besoin d'aide pour cette question.

b) J'ai trouvé que :
lim g(x) = 0+ avec x-> -1+
lim g(x) = 0- avec x-> -1-
lim g(x) = 0+ avec x-> 1+
lim g(x) = 0- avec x->1-
Par contre, je ne sais pas comment interpréter graphiquement ces résultats

c) f(x)=x^3+2x²/(x²-1)
Montrons que cf, la courbe représentative de f, admet une asymptote oblique d'équation y=x+2
f(x)-(x+2) = x+2/(x²-1)
donc lim f(x) = 0
Par conséquent, la droite d'équation y=x+2 est une asymptote oblique a Cf au voisinage de - infini.
Est-ce bien ça?

d) Pour cette question je ne sais pas non plus la méthode qu'il faut appliquer

3) J'ai dérivé f(x)=x^3+2x²/(x²-1) et j'ai trouvé f(x)= x^4+4x^3-3x²/(x²-1)²
J'ai donc factorisé et j'ai trouvé f(x)= x(x^3+4x^3-3x)/(x²-1)² mais le problème c'est que je ne trouve pas f'(x)= xg(x)/(x²-1)² avec g(x)= x^3-3x-4
Est ce que j'ai utilisé la bonne méthode?

Merci d'avance,
Claire

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour l'égalité, tu pars de ce qu'on te donne \(x+2+\frac{x+2}{x^2-1}\) et tu mets au même dénominateur pour essayer de retrouver l'expression initiale de \(f(x)\).
Pour la b, tu dois avoir des limites infinies en -1 et en 1 qui sont des valeurs interdites de ta fonction (elles annulent le dénominateur), ce qui s’interprétera en asymptotes verticales.
Pour l'asymptote, c'est bon.
Pour étudier la position de l'asymptote avec la courbe, il faut reprendre la différence \(f(x)-(x+2)=\frac{x+2}{x^2-1}\).
Il faut ensuite étudier le signe de cette différence \(\frac{x+2}{x^2-1}\) dans un tableau de signes et conclure ainsi :
- Sur les intervalles où \(f(x)-(x+2)>0\), la courbe est au-dessus de l'asymptote,
- Sur les intervalles où \(f(x)-(x+2)<0\), la courbe est en-dessous de l'asymptote,
Pour la dernière question, il faut dériver f puis développer \(xg(x)\) et comparer les deux expressions : c'est plus facile que de chercher à factoriser.
Bon courage, il y a pas mal de chose à reprendre.

[Claire]

Merci beaucoup, ça m'a beaucoup aidé.

[SoS-Math(7)]

À bientôt sur sos math.