dérivée de fonctions trigo

[<3boubou<3]

Bonjour à tous!! Alors voila j'ai un exercice sur les fonctions trigonométrique, je l'ai débuté mais pas fait totalement.

Voila l'énoncé:

f est la fonction définie sur R par: \(f(x)=\frac{1}{2}cos(2x)-cosx\)
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1.a. Montrer que f est périodique de période \(2\pi\).
b. Démontrer que la courbe C admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

2.a. Déterminer la fonction dérivée de f.
b. Démontrer que pour tout réel x, f'(x)= sin(-2cos(x)+1).
c. Étudier le signe de f' sur [0;\(\pi\)] et en déduire les variations de f sur [0;\(\pi\)].
d. Tracer la courbe précisément sur papier millimétré sur \([-\pi;\pi]\)
e. Comment peut on en déduire le reste de la courbe sur R.

Je vous poste ce que j'ai fait... merci!!!!

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Je n'ai pas encore ce que tu as fait, est-ce en pièce jointe ?
Est-ce dans un autre message ?

A bientôt sur le forum.

[<3boubou<3]

1/a/
f(x)=1/2 cos2x - cos x
f(x+2µ) = 1/2 cos2(x+2µ) - cos ( x+2µ)
f(x+2µ) = 1/2 cos2x - cos x

b/
f(x)=1/2 cos2x - cos x

f(-x)=1/2 ( -cos2x) - -(cos x)
f(-x)=1/2 cos2x - cos x

donc f(x) = f(-x) alors f est paire : par définition sa courbe représentative admet une symétrie par rapport à l´axe des ordonnées.

2/a/
f(x)=1/2 cos2x - cos x

f´(x)= 1/2 ( -2 sin 2x ) - ( -sin x)
f´(x)= -sin 2x + sin x ?
b/
(1/2 cos(2x) - cos(x) ) '
= - sin(2x) + sin x
= - 2 sin(x)cos(x) + sin(x)
= sin(x) (-2cos(x) + 1)

[<3boubou<3]

après pour le variations de f je bloque??

[SoS-Math(11)]

Ok pour le a)

Pour la question b) Il faut effectivement calculer \(f(-x)\), ce qui donne \(f(-x)=\frac{1}{2}cos(-2x)-cos(-x)\) à simplifier.
Ok pour la dérivée et sa factorisation.

Pour le signe de la dérivée sur \([0 , \pi]\) \(sin(x)\) est positif sur cet intervalle et \(1- 2 cos(x)\) est positif pour \(cos(x) < \frac{1}{2}\) puisque la fonction cosinus est décroissante.

Déduis-en le tableau de variation puis complète par symétrie et par translation.

Bon courage pour la suite, n'hésite pas à utiliser ta calculatrice pour avoir une courbe et un table de valeurs.

[<3boubou<3]

ok merci,
Sur [0;\(\pi\) ], la fonction sin est tjs à valeurs positives (ds [0;1])

Sur [0;\(\pi\) ], la fonction cos est à valeurs positives sur \([0;\pi/2]\) et à valeurs négatives sur \([\pi/2;\pi]\)

Dc 2cos x sera aussi à valeurs négatives sur \([\pi/2;\pi]\)

==> le signe de 2cos x sur ,
Tant que 2 cos x < 1, 1-2cos x > 0 et 1 - 2cos x s'annule pr 2cos x = 1, soit cos x = 1/2 , soit x = \(\pi/3\) .
Lorsque x appartient à \([0;\pi/3\) , cos x appartient à \([1/2;1]\) , dc 2cos x appartient à [1;2],
et 1-2cos x <ou= 0 ;
et Lorsque x appartient à \([\pi/3;\pi/2]\), cos x appartient à [0;1/2] ,dc 2cos x appartient à (0;1] , et 1-2cos x <ou= 0.

C'est bien ça donc f est décroissante sur [0;\(\pi/3]\) et est croissante sur [\(\pi/3;\pi]\)??

[SoS-Math(11)]

En effet, la dérivée est négative sur \([0 ; \frac{\pi}{3}]\) et positive sur \([ \frac{\pi}{3} ; \pi]\). Les variations de \(f\) en découlent. C'est bien.

Il ne reste plus que le dessin ce qui n'est pas le plus aisé.
Commencer par la courbe sur\([0 ; \pi]\) puis par symétrie sur \([{-\pi} ; \pi]\) et compléter par translations de \(2\pi\)

Bonne fin d'exercice

[<3boubou<3]

En effet, la dérivée est négative sur \([0 ; \frac{\pi}{3}]\) et positive sur \([ \frac{\pi}{3} ; \pi]\). Les variations de \(f\) en découlent. C'est bien.

Il ne reste plus que le dessin ce qui n'est pas le plus aisé.
Commencer par la courbe sur\([0 ; \pi]\) puis par symétrie sur \([{-\pi} ; \pi]\) et compléter par translations de \(2\pi\)

Bonne fin d'exercice

ok merci baa moi moi pour le graphique j'ai commencé mais je ne sais pas si elle est bonne parce qu'elle m' a l'air bizarre??

[SoS-Math(11)]

C'est bien cela, en effet la courbe est un peu surprenante, mais c'est tout à fait une courbe avec des cosinus.

A bientôt sur le forum

[<3boubou<3]

Merci beaucoup SOS Maths (11)!!
Et à bientôt....