rectangle dans triangle équilatéral

[lilou]

Bonsoir, je n'arrive pas a résoudre cet exercice de maths, merci de votre aide !!!




ABC est un triangle équilatéral de côté 12cm et I le milieu de [AB].
M est un point mobile sur [AI] et N le point de [AB] tel que AM=NB.
Q est un point de [BC] et P un point de [AC] afin que MNPQ soit un rectangle.

Notons x=AM et f la fonction qui associe a x l'aire f(x) du rectangle MNPQ en cm^2.

1a. Exprimer MN puis MP en fonction de x.

B.En déduire que f(x)=2racinnecarréde3(6x-x^2)

2.a. donner la valeur exacte de f(3).
Vérifier que pour tout x de [0; 6], f(x)-f(3)=-2racinnecarréde3(x-3)^2

B. En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0; 6].

c. Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale?

>On peut aussi remplacer racine carrée 3 par tan60°

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Lilou,

Pour faire la figure tu dois tracer la hauteur (CI) et les parallèles à (CI) passant par M et N pour obtenir Q et P.

Tu peux commencer par remarquer que AM = BN tout comme IM = IN et exprimer MN en fonction de \(x\).

Ensuite à l'aide du théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle CIB calculer la longueur CI, (CB = 12 et BI = 6), garde la valeur exacte de cette longueur à l'aide de \(\sqrt 3\).

Ensuite exprime la longueur NP en fonction de \(x\), pour cela utilise le théorème de Thalès dans les triangles BPN et BCI.

Pour avoir l'aire du rectangle il suffit ensuite de calculer \(MN \times NP\), tu obtiendras bien la formule donnée.

Le reste est assez simple, laisse-toi guider par l'énoncé et pense que si la différence \(f(x)-f(3)\) est négative alors \(f(3)\) est plus grand que \(f(x)\).

Bon courage pour les calculs et bonne continuation.

[lilou]

Excusez-moi j'ai oublié de mettre le schéma...

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lilou,

Ce n'est pas nécessaire, tu peux suivre les explications du précédent message.

Bon courage

[lilou]

Bonsoir,
Je ne vois pas comment exprimer MN puis MP en fonction de x ; et avec les calculs je n'arrive pas à retomber sur le bon résultat final...
Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Lilou,

Les explications du premier message sont déjà très riches.
Il faut que tu relises ce message et que tu essayes de trouver par toi-même.
Je ne peux pas t'aider davantage sans te donner la solution.
Je peux quand même te dire que MN = AB - AM - BN.

Bon courage.