continuité derivabilité

[anais]

Bonjour,

je suis bloqué à un exo

g(x)= si x différent de 0 (racine(1+x²)-1)/x
g(0)=0


1) Montrer la parité de la fonction g
g(-x)=(racine(1+(-x)²)-1)/-x=(racine(1+x²)-1)/-x donc la fonction est impaire

2) montrer que la fonction est continue en O
lim g(x)=lim(racine(1+x²)-1)/x et la je n'arrive pas j'ai essayé de déterminer d'abord la limite du haut puis la limite du bas j'arrive toujours sur une n x tend vers 0 par valeur inf Forme indéterminé pareil par valeur supérieur.

3)montrer que g est derivable en 0
lim g(x)-f(0)/x-0 mais là il faut prendre g(x)=(racine(1+x²)-1)/x ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anaïs,

1) C'est bon mais il faut faire attention aux parenthèses .... g(-x)=(racine(1+(-x)²)-1)/(-x) = ... = - g(x).

2) Il faut utiliser l'expression conjuguée de \(\sqr{1+x^2}-1\) ... qui est \(\sqr{1+x^2}+1\)!
Rappel : \(\sqr{a}-b=\frac{(\sqr{a}-b)(\sqr{a}+b)}{\sqr{a}+b}=...\).

3) Oui, il faut prendre \(g(x)=\frac{\sqr{1+x^2}-1}{x}\) et réutiliser la méthode précédente ...

Bon courage,
SoSMath.

[anais]

bonjour,

2) en utilisant la forme conjugué,lim racine(1+x²)-1 pour x tend vers 0 par valeur inférieur je trouve x²/ racine(1+x²)+1 ducoup limite du haut=0

[SoS-Math(9)]

Anaïs,

Dans ton calcul, il semble qu'il y ait une erreur ...
\(\frac{(\sqr{1+x^2}-1)(\sqr{1+x^2}+1)}{x(\sqr{1+x^2}+1)}=\frac{x}{\sqr{1+x^2}+1}\) !
On trouve une limite de 0 au numérateur et différente de 0 au dénominateur, donc la limite (quand x tend vers 0) est 0.

SoSMath.

[anais]

bonsoir,

pour demontrer la dérivabilité, il faut calculer la lim g(x)-f(0)/x-0 quand x tend vers 0 ou alors on calcule la limite par valeur sup et par valeur inf ?

[SoS-Math(9)]

Oui, si la fonction est définie sur IR-{0}.
Si elle est définie sur ]0;+inf[, alors on étudie seulement par supérieure à 0.

SoSMath.

[anais]

Elle est définie sur R mais on nous précise que si x=0, g(0)=0

On calcule quelle limite ducoup ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anaïs,

Il faut calculer les deux limites !

SoSMath.

[anais]

bonjour,

pour tout x supérieur à 0, f(x)-f(0)/(x-0)=racine(1+x²)+1
lim racine(1+x²)+1=2

pour tout x inférieur à 0, f(x)-f(0)/(x-0)=racine(1+x²)+1
lim racine(1+x²)+1=2

ainsi f est dérivable en 0 et f'(0)=2, alors f admet une tangente en 0 de coefficient 2

C'est juste ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
au départ, tu avais \(\frac{ \sqrt{x^2+1}-1}{x}\), c'est cela ?
donc si tu calcules \(\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\), avec g(0)=0, on a \(\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\frac{\frac{ \sqrt{x^2+1}-1}{x}-0}{x}=\frac{ \sqrt{x^2+1}-1}{x^2}\) il faudra encore multiplier par l'expression conjuguées et c'est la limite en 0 de cette expression qu'il faut chercher.
Reprends cela

[anais]

bonjour,

j'ai trouvé g(x)-g(0)/x-0=(racine(1+x²)-1/x)/x=(racine(1+x²)-1)/x²= (racine(1+x²)-1)(racine(1+x²)+1)/x²(racine(1+x²)+1)=x²/x²(racine(1+x²)+1)=(racine(1+x²)+1)

donc lim racine(1+x²)+1= 2 donc ce quotient admet une limite finie, g est donc dérivable en 0, f'(0)=2

g admet une tangente au point d'abscisse x=0 de coefficient directeur 2

[anais]

C'est juste ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Anaïs,

tu as fait une petite erreur à la fin de ton calcul de g(x)-g(0)/x-0 ...
Tu trouves (g(x)-g(0))/(x-0) = (racine(1+x²)+1) alors que tu dois avoir 1/(racine(1+x²)+1) !
Et donc la limite quant x tend vers 0 est 1/2 (et non 2).

SoSMath.

[anais]

ah oui je vois mon erreur.

4) on me demande les limites de g en moins l'infini et en +l'infini et une interpretation graphique. j'ai trouvé respectivement -l'inf et +l'inf mais je ne trouve pas d'interprétation graphique

5)etudier le sens de variation de g sur (0;+l'inf)

j'ai essayé de calculer la dérivé :

g(x) est de la forme u/v avec u(x)=racine(1+x²)-1 et v(x)=x u'(x)=1/2racine(1+x²)-1 et v'(x)=1
g'=u'v-uv'
g'(x)=x/2racine(1+x²)-1-(racine(1+x²)-1) mais je ne sais pas comment réduire tout ca

[SoS-Math(9)]

Anaïs,

4) Tes limites sont fausses ... as-tu tracé la courbe sur ta machine ? Tu dois observer une asymptote horizontale, donc la limite ne peut pas être + ou - l'infini !
Voici un peu d'aide : \(\sqr{x^2+1}=x\sqr{1+\frac{1}{x^2}}\).

5) tes dérivées sont fausses !! Rappels :
\((\sqr(u))'=\frac{u'}{2\sqr{u}}\) et non \(\frac{1}{2\sqr{u}}\)
\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) et non \(u'v-uv'\).

SoSMath.