Aire et développement

[Charles]

Bonjour :) ! J'ai quelques difficultés à faire cet exercice est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

L'unité d'aire est le centimètre carré.
1) Calcule l'aire du rectangle KLMN
2) Calcule les aires des triangles KLP et KNQ en fonction de x
3) Prouve que l'aire du triangle PQM est : 0,5² - 7,5x + 27
4) Déduis des questions 1) 2) et 3) que l'aire du triangle grisé KPQ est : -0,5x² + 27
5) Détermine pour quelle valeur de x l'aire du triangle grisé 1/6 de l'aire du rectangle KLMN.

Voici ce que j'ai fais :
1) l*L =9*6 = 54cm²
2) KLP : base*hauteur/2 = x*9/2
KNQ = x*6/2
3) , 4) et 5) je vois pas comment faire ...

Merci de votre aide :) !

[sos-math(21)]

Bonjour,
L'aire du triangle PQM est donnée par \(\mathcal{A}_{PQM}=\frac{PM\times MQ}{2}\)
Or \(PM=ML-MP=...\) et \(MQ=MN-NQ=...\), tu dois obtenir deux expressions en fonction de \(x\) et il faudra développer.
Bon courage

[Charles]

PM =ML -MP = 6-x
MQ = MN-NQ =9-x
PM×MQ/2 = (6-x)(9-x)/2
= 54-6x-9x+x/2
= 54-14x/2

Pour calculer le rectangle il faut que je fasse l'aire de chaque triangle?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec ton calcul :
tu dois avoir du \(x^2\) dans ton développement : \((6-x)(9-x)=6\times 9-6\times x-9\times x+x\times x\).
Reprends cela.
L'aire du rectangle se fait simplement avec \(\mathcal{A}_{\mbox{rectangle}}=L\times \ell=9\times 6=...\) tu l'as déjà fait.
Pour l'aire du triangle grisé, il faudra procéder par soustraction d'aires :
On obtient l'aire du triangle grisé en soustrayant à l'aire du rectangle les aires des triangles KLP, MPQ, KNQ.
Bon courage.

[Charles]

Ok je vais reprendre :

3) (6-x)(9-x)=6*9 - 6*x - 9*x +x*x = 54 - 6x -9x +x² = 54 - 15x +x²
donc on a 54 - 3x +x² / 2 pour l'aire de PQM
4) KLP - MPQ - KNQ = x*9/2 - x*6/2 - 54 - 3x +x² / 2 = 9x - 6x -54 + 3x -x²/2 =6x -54 - x²/2 , je sais pas mal j'ai l'impression d'avoir fais une erreur de signe...

[sos-math(21)]

Tu ne fais pas le bon calcul :
Il faut faire \(\mathcal{A}_{MNPQ}-\mathcal{A}_{KLP}-\mathcal{A}_{MPQ}-\mathcal{A}_{ KNQ}\) et mets bien des parenthèses pour ne pas faire d'erreurs de signe.

[Charles]

J'ai réussi ^^ !
Pour le 4) il faut faire 0,5² - 7,5x + 27=16 ?

[sos-math(21)]

D'après ton énoncé, tu dois trouver que l'aire de ton triangle grisé est égale à : \({-0,5}x^2+27\). Y es-tu parvenu ?
Donc on veut trouver \(x\) tel que cette aire soit égale à 1/6 de celle du rectangle, c'est-à-dire \(\frac{1}{6}\times 54=...\).
Je te laisse résoudre cette équation.

[Charles]

1/6 * 54 = 9 donc 9 c'est la valeur de x quand l'aire du triangle grisé est 1/6 de l'aire du rectangle KLMN ?

[sos-math(21)]

Non,
c'est la valeur de ton aire grisée (1/6 de 54)
donc il faut résoudre l'équation : \({-0,5x^2}+27=9\)...
Bon courage

[Charles]

J'ai pas trop compris vous pouvez ré-expliquer s'il vous plaît ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Charles,

Que veux-tu qu'on réexplique ?
Pour la question 5) on veut que l'aire grisée (=-0,5x² + 27) soit égale à 1/6 de l'aire de KLMN(= 54).
On obtient donc l'équation : -0,5x² + 27 = 1/6 * 54 soit -0,5x² + 27 = 9.
Il faut alors résoudre cette équation pour trouver x.

SoSMath.

[Charles]

Ah donc :
-0,5x² + 27 = 9
-0,5x^2 = -18
x^2 = 36
x = 6 cm ?

[SoS-Math(9)]

Oui Charles !

Cependant à l'équation x²=36 on trouve comme solutions x=6 et x=-6 !
mais comme x est une longueur, alors il n'y a qu'une solution x=6...

SoSMath.

[Charles]

Merci :) !