exercice sur les complexes.

[Alexis]

Bonjour, je dois résoudre cette équation : z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0 où θ [0 et 2¶]
J'avais trouvé ceci : http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/view ... f=9&t=7998 où le problème était presque identique, au détail prêt que θ était seulement un réel quelconque ...
De plus j'ai procédé différement et je ne voit pas ce qui cloche dans mon résonnement :

si : z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0
alors cela équivaut à : z²(-2-4cosθ)z+5+4cosθ
Delta = (-2-4cosθ)²-4*1*(5+4cosθ)
=4+16cos²θ-20-16cosθ
=16cos²θ-16cosθ-16
Je pensais ensuite faire un delta de ce delta, afin de trouver cosθ, cependant dans le delta du lien que je viens de donner ci-dessus, le résultat est : 16cos²θ-16 ... Ai-je donc faux ?

[sos-math(22)]

Bonsoir Alexis,
Tu oublies le double produit en développant (-2-4cosθ)²=4+16cos²θ+16cosθ.
Bonne continuation.

[Alexis]

Merci beaucoup, j'ai pu finir mon développement :
Delta = (-2-4cosθ)²-4*1*(5+4cosθ)
=4+16cosθ+16cos²θ-20-16cosθ
=16cos²θ-16
=16(cos²θ-1)
Comme cos²a+sin²a=1, alors cos²a-1= -sin²a
Donc: 16(cos²θ-1) = 16(-sin²θ)
=-16sin²θ
=16i²*sin²θ
=(4i*sin²θ)²

Cependant je n'arrive pas à savoir si delta est positif ou négatif, car certes un carré est toujours positif donc on tends à penser que delta>0 mais ce même carré est égal à -16sin²θ qui est négatif ... Comment me décider ?

[sos-math(22)]

Bonsoir Alexis,

Delta = 16(cos²θ-1)=-16 sin²θ est négatif ou nul comme produit de -16 par un réel négatif ou nul.

D'ailleurs, si Delta était positif, tu n'aurais pas besoin des nombres complexes.

Ensuite, à la fin, fais attention, il s'agit de (4i*sinθ)² : il n'y a pas de carré sur sinθ dans la parenthèse.

Bonne continuation.