Cercle orienté

[Patrick]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour cet exercice sur le thème de l'abscisse curviligne associée au cercle. Je vous sollicite surtout pour affiné la rédaction, articulée autour de la cuisine de mes observations, LOL.

On considère, sur un cercle orienté, tous les points dont l'abscisse curviligne \(\alpha\) par rapport à une origine A est exprimée en radians par la relation :
\(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\) (1), dans laquelle on a \(k\in Z\).
1°) Combien existe-t-il de points distincts sur le cercle ? Quelle est la nature du polygone dont ces points sont les sommets ?
2°) Même questions pour la relation :
\(\alpha=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3k\pi}{4}\) (2).
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1°) Remarques pour la relation (1) : \(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\) représente, suivant l'origine A, l'abscisse du 1er point/sommet d'un polygone et \(\dfrac{k\pi}{2}\) le "motif" qui, suivant les valeurs de \(k\), permet de construire les autres sommets de la figure. Cette valeur du motif me laisse penser à quatre sommets, c-a-d un carré inscrit dans un cercle, puisque pour \(k=4\) on a \(4*\dfrac{\pi}{2}=2\pi\), un tour complet sur le cercle.
Je continue ma "démonstration" par une autre façon de présenter de voir le
\(\alpha=\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{2k\pi}{4}=(2k+3)\dfrac{\pi}{4}\), pour k=1, k=2, k=3, k=4 détermine un cycle de 4 abscisses curvilignes espacées de \(\pi/2\) qui se répètent et se superposent dans un sens comme dans l'autre suivant le signe des valeurs de \(k\in Z\). CQFD ?

2°) Remarques pour la relation (2) : \(\alpha=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3k\pi}{4}\), \(\alpha=-\dfrac{\pi}{2}\) représente, suivant l'origine A, l'abscisse curviligne du 1er point/sommet d'une figure. \(\dfrac{3k\pi}{4}\) ne forme pas la base d'un motif pour un polygone régulier, tout du moins sur l'intervalle \(]-\pi; \pi]\). Cependant, il est possible que la valeur \(k=8\) soit la base d'un cycle qui se répète... C'est la plus petite valeur de \(k\) dans N* pour laquelle \(\dfrac{3k\pi}{4}\) est un multiple de \(2\pi.\) La figure ressemble à un octogramme régulier avec 8 côtés, CQFD ?
Comment peut-on améliorer cette rédaction ?

Merci et @+

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je trouve que ces explications sont très bonnes.
Si on veut améliorer encore la présentation, il faut l'agrémenter de 2 cercles trigonométriques sur lesquels seront placés les points.

remarques : dans le deuxième cas, on obtient un octogone, certes, si l'on prends les points dans l'ordre sur le cercle, mais plutôt un octogone étoilé, si l'on prend les points dans l'ordre des valeurs de k.

sosmaths

[Patrick]

remarques : dans le deuxième cas, on obtient un octogone, certes, si l'on prends les points dans l'ordre sur le cercle, mais plutôt un octogone étoilé, si l'on prend les points dans l'ordre des valeurs de k.

Merci, je l'avais remarqué, mais sans savoir le formuler !

@+

[SoS-Math(4)]

OK, à bientôt
sosmaths