Partie entière et fonctions

[Claire]

Bonjour :) !

J'ai quelques problème avec ces exercices pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

On considère la fonction f définie sur[0; +infini[ par f(x) = √(x-E(x) où E(x) désigne la partie entière de x.
1.Calculer f(0) , f(1) puis pour tout entier naturel n : f(n)
2. Exprimer f sur [0;1[ puis sur [1;2[
3. Etudier la continuité de f en 1. Plus généralement, montrer que f n'est continue en aucun entier naturel n.
4. Représenter graphiquement le fonction d sur [0;infini[

1. f(0) = 0
f(1) = 0
pour tout entier naturel n :f(n); le 2 ; le 3 e le 4 = j'ai pas compris

Merci d'avance de votre aide !

[sos-math(12)]

Bonjour

Tu dois utiliser la définition de E(x) : c'est le seul entier relatif vérifiant : \(E(x) \le x<E(x)+1\).
Pour le 2) sachant que x appartient à l'intervalle [0;1[, tu peux écrire que \(0 \le x <1\) donc \(E(x)=......\).

Bonne continuation.

[Claire]

Donc,
si x=1 ; 1 < ou = à 1 qui lui même est < 1
2) x appartient à l'intervalle [0;1[, donc 0 < ou = x < 1 don E (x) = 0

[sos-math(12)]

Bonjour :

exact. À toi de continuer.

Bonne continuation.

[Claire]

Donc :
x appartient à l'intervalle [1;2[, donc 1 < ou = x < 2 donc E (x) = 1
3) Comment faire ?

[sos-math(20)]

Bonjour Claire,

Donne l'expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ en tenant compte du fait que sur cet intervalle E(x)=0
Fais la même chose sur l'intervalle [1,2[.
Ensuite calcule les limites en 1, en distinguant x<1 et x>1 et compare tes résultats avec f(1).
Revois ta définition de "f continue en 1".
Conclus en utilisant tes résultats trouvés aux limites.

Bon courage

SOS-math

[Claire]

Bonjour,

L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ est f(0) = 0
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [1,2[ est f(1) = 0

Les limites de 1 pour x<1 et x>1 sont égales à 0 ce qui équivaut à f(1) ?

[sos-math(20)]

Bonjour Claire,

A priori l'expression de f(x) en fonction de x contient encore "x", ce qui n'est pas le cas dans ce que tu me proposes.

Reprenons donc l'expression de f(x) pour x dans [0,1[ : tu sais que \(f(x)= \sqrt {x-E(x)}\) et que sur cet intervalle \(E(x)=0\), tu peux donc en déduire que sur l'intervalle [0;1[ on a f(x) = ...

Ensuite fais la même chose sur l'intervalle [1;2[ puis reprends la démarche décrite dans mon précédent message.

Bon courage.

SOS-math

[Claire]

Bonjour,
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ est f(x) = 0 
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [1,2[ est f(x) = 1


Par contre pour les limites f continue en 1 c'est 0 pour inférieure et supérieur ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui tu as
en limite à gauche \(\lim_{x\to1, x<1}f(x)=0\)
en limite à droite \(\lim_{x\to1, x>1}f(x)=1\)
Ce qui prouve en particulier que f n'est pas continue en 1.
Bon courage

[Claire]

Donc, f n'est continue en aucun entier naturel n?

[sos-math(21)]

C'est cela,
c'est au niveau lycée, un exemple de fonction non continue, on dit qu'elle est continue par morceaux.
Bon courage pour la suite

[Claire]

Bonjour !
J'ai relu un peu mais je me suis rendu compte que je ne comprend pas un truc c'est que comment savez-vous que la limite de f(x) quand x>1 est 0 et quand x<1 sa limite est 1 j'ai pas trop compris....?

[sos-math(12)]

Bonsoir :

les deux derniers messages sont un peu confus.
Tu sais que la fonction \(E(x)\) est constante sur l'intervalle [0;1[ et vaut 0. En effet pour tout \(x\) dans cet intervalle \(0 \le x < 1\). Donc \(E(x)=0\). Tu peux donc en déduire \(\lim_{x \to 1^{-}}E(x)\).
Tu sais que la fonction \(E(x)\) est constante sur l'intervalle [1;2[ et vaut 1. En effet pour tout \(x\) dans cet intervalle \(1 \le x < 2\). Donc \(E(x)=1\). Tu peux donc en déduire \(\lim_{x \to 1^{+}}E(x)\).

Ce qui prouve que la fonction \(E(x)\) n'est pas continue en 1. Elle est d'ailleurs discontinue en toute valeur entière.

Bonne continuation.

[Claire]

J'ai toujours un peu de mal à comprendre... Le truc est que je ne comprend pas pourquoi limite de x tend vers 1 inférieur à 0 c'est égal à 0 et pour x tend vers 1 supérieur à 0 c'est égal à 1 pourtant il n'y a aucun calcul et quand je fais je trouve 0+ et 0- comme limites...