[Second degré] étude d'un cas litteral

[Patrick]

Bonjour,

Sorti d'un ancien livre de 1ère, je me replonge dans cet exercice difficile...
Merci pour la lecture et les retours.

Soit les deux trinômes suivants :
\(f(x)\equiv ax^2+bx+c\quad\text{et}\quad g(x)\equiv f(x)+m(2ax+b)\)
\(x\) la variable; \(a,\ b,\ c\) sont des nombres réels donnés et \(m\) un paramètre.
- 1°) Montrer que, \(\forall m \in\mathbb{R}\), si l'équation \(f(x)=0\) admet 2 racines \(\alpha\in\mathbb{R}\text{et}\beta \in\mathbb{R}\),
l'équation \(g(x)=0\) admet aussi 2 racines \(\alpha'\in\mathbb{R}\text{ et }\beta'\in\mathbb{R}\).
- 2°) On suppose que l'équation \(f(x)=0\) admet 2 racines \(\alpha\in\mathbb{R}\text{et}\beta \in\mathbb{R}\).
Calculer le produit \(P=g(\alpha)g(\beta)\) en fonction de \(a,\ b,\ c,\ m\).
Déduire du signe de \(P\) la disposition relative des 4 racines \(\alpha,\ \beta,\ \alpha',\ \beta'.\)
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- 1°) \(f(x)=0\) l'équation complète du trinôme du second degré possède des racines ssi : \(b^2-4ac\ge 0.\)
De même, pour que le trinôme \(g(x)=0\) admette des racines, son discriminant doit vérifier : \(\Delta_g\ge 0\)
\(g(x)\equiv f(x)+m(2ax+b)\equiv ax^2+bx+c+m(2ax+b)\equiv ax^2+x(2am+b)+bm+c.\)
\(\Delta_g=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2-c)=b^2-4ac+4a^2m^2.\)
Par hypothèse on a : \(b^2-4ac\ge 0\Rightarrow\forall m\in\mathbb{R}\ :\ \Delta_g\ge 0\) puisque \(4a^2m^2\ge 0\quad\)CQFD ?

- 2°) Rappel du théorème des valeurs intermédiaires : "La relation \(f(\alpha)\times f(\beta)<0\) exprime une condition suffisante et nécessaire pour que \(f(x)=0\) admette dans \(\mathbb{R}\) une racine et une seule entre deux nombres donnés \(\alpha\) et \(\beta.\)"
Calcul du produit : \(P=g(\alpha)g(\beta)\) avec \(g(\alpha)=f(\alpha)+m(2a\alpha+b)\) et \(g(\beta)=f(\beta)+m(2a\beta+b).\)
Mais comme \(f(\alpha)=f(\beta)=0\Rightarrow P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(2a\alpha+b)(2a\beta+b)=m^2(4a^2\alpha\beta+2ab(\alpha+\beta)+b^2).\)
En tenant compte des relations entre coefficients et racines, on peut exprimer/simplifier \(P=g(\alpha)g(\beta)\) à l'aide des coefficients \(a,\ b,\ c\) de \(f(x)\) et du paramètre \(m.\)
\(P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times-\dfrac{a}{b}+b^2)=-m^2(b^2-4ac).\)
Sachant que \(\alpha\) et \(\beta\) existent on a \(b^2-4ac>0,\) et que\(\ -m^2<0,\) donc \(P=g(\alpha)\times g(\beta)<0.\)
Maintenant, on peux disposer les racines \(\alpha\)' et \(\beta'\) de \(g(x)\) par rapport aux nombres \(\alpha\) et \(\beta\) racines de \(f(x)\).
Pour fixer les idée et conclure, si on pose \(\alpha'<\beta'\) dans cet ordre, on est conduit, ainsi, à cette disposition : \(\alpha<\alpha'<\beta<\beta'.\)

Je pense que çà tiens la route, mais j'ai eu du mal à rédiger,
@+

[sos-math(22)]

Bonjour,
Pour le 1), je pense que c'est tout juste.
Pour le 2), fais attention au départ à tes hypothèses dans l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Il faut supposer que f est continue et strictement monotone sur l'intervalle \([\alpha ; \beta]\) pour être assuré de l'unicité. Cette deuxième condition n'est pas vérifiée si \(\alpha\) et \(\beta\) désignent les racines du trinôme f... A préciser donc...
Ensuite, j'ai du mal à comprendre la simplification de \(P\), je trouve : \(P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(4ac-2a^2+b^2)\). Comment fais-tu ensuite pour simplifier ton calcul ?
Enfin, si tu appliques le TVI à \(g\), la condition \(P=g(\alpha)g(\beta)<0\) implique l'existence d'une solution dans \(\alpha\) et \(\beta\), pas l'unicité.
En espérant avoir pu t'aider un peu,
Bonne continuation.

[Patrick]

D'abord Merci pour la lecture et ta réponse.

Pour le 2), fais attention au départ à tes hypothèses dans l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Il faut supposer que f est continue et strictement monotone sur l'intervalle \([\alpha ; \beta]\) pour être assuré de l'unicité. Cette deuxième condition n'est pas vérifiée si \(\alpha\) et \(\beta\) désignent les racines du trinôme f... A préciser donc...

C'est vrai, j'ai abusé de la dénomination, mais c'est le TVI appliqué à un cas particulier, le trinôme, et nous sommes bien dans le cas où celui-ci possède 2 racines. Dans toutes les situations, \(f(\alpha)\times f(\beta)>0\) exprime le fait que l'on a aucune ou 2 racines entre \(\alpha\) et \(\beta\), mais jamais une. Inversement, \(f(\alpha)\times f(\beta)<0\) exprime le fait que l'on ne peut avoir qu'une racine entre \(\alpha\) et \(\beta\). Ouf, c'est un cas suffisamment simple que je viens de vérifier directement (sans démonstration) sur un tracé à main levée.

Ensuite, j'ai du mal à comprendre la simplification de \(P\), je trouve : \(P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(4ac-2a^2+b^2)\). Comment fais-tu ensuite pour simplifier ton calcul ?

C'est une bourde à la composition Latex, il fallait lire pour la somme b/a et pas a/b :
\(P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times\dfrac{b}{a}+b^2)=-m^2(b^2-4ac).\)

Enfin, si tu appliques le TVI à \(g\), la condition \(P=g(\alpha)g(\beta)<0\) implique l'existence d'une solution dans \(\alpha\) et \(\beta\), pas l'unicité.

Bis repetita comme dessus.

Alors, tu en penses quoi de mes explications ?
Merci et @+

[sos-math(22)]

Bonjour,

Tu dis : <<Dans toutes les situations, \(f(\alpha)\times f(\beta)>0\) exprime le fait que l'on a aucune ou 2 racines entre \(\alpha\) et \(\beta\), mais jamais une.>>

Là, je ne crois pas : il suffit que le sommet soit sur l'axe des abscisses pour voir que ça ne marche pas.

En revanche, lorsque tu dis :
<<Inversement, \(f(\alpha)\times f(\beta)<0\) exprime le fait que l'on ne peut avoir qu'une racine entre \(\alpha\) et \(\beta\).>>

Là, d'accord, c'est correct.


Entendu pour la petite faute calcul (avec un signe moins) : \(P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times(\dfrac{-b}{a})+b^2)=-m^2(b^2-4ac).\)

Bonne continuation.

[Patrick]

Ok, merci pour ton aide à la correction.

@+

[SoS-Math(9)]

A bientôt Patrick,

SoSMath.