Loi Normale

[LILI]

Bonjour,
Je suis bloquée pour cette exercice :
Une machine est capable de produire des pièces métalliques de longueur X(en cm) suivant une loi N(µ;1). Le caractère aléatoire de X et notamment sa variance σ²=1 reflètent les imprécisions de fabrication. On souhaite régler la machine, autremant dit µ, pour qu'elle produise des pièces de longueur comprise entre 99 et 101 cm avec la probabilité la plus grande possible. Pour tout µ appartenant à R, on pose : g(µ)=P(99<X<101).

1. Soit Z=X-µ. Quelle loi suit la variable aléatoire Z?
2. Exprimer g(µ) en fonction de Z.
3. Soit F définie pour tout x par F(x)=int(100,x)f(t)dt, où f désigne la densité de Z. Déterminer la dérivée de F en fonction de f.
4. Exprimer pour tout µ, g(µ) en fonction de F.
5. En déduire g'(µ) pour tout µ.
6. Etablir le tableau de variation de g.
7. En déduire la valeur de µ qui maximise P(99<X<101). Que vaut cette probabilité maximale?

Pour la 1ère question j'ai mis que c'était une loi normale centrée. Pour la 2ème question j'ai trouvé P(99-µ<Z<101-µ).Je suis en difficulté à la 3ème question je pense qu'il faut utiliser la fonction de densité de la loi normale mais je ne vois pas comment l'utiliser.
Pouvez-vous m'aider?

Merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lili,

Ok pour les question 1 et 2.
Pour la 3, pense que l'intégrale est la primitive de f(t) qui s'annule pour t = 100, donc tu peux en déduire sa dérivée.

Bonne continuation

[LILI]

bonjour,

Donc pour la question 3 la dérivée serait F(x)= (-x/√2π)e^-(x^2)/2. Est ce que ce serait ça car je n'ai aucune idée pour faire cette question.

Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lili,

Tout à fait.

Bon courage pour la suite.

[LILI]

Bonsoir,

Merci pour cette réponse.
Pour exprimer g(µ) en fonction de F c'est Int(99,101)f(t)dt ? Et pour la dérivée je ne vois pas comment faire?

Merci.

[SoS-Math(11)]

Non tu ne vas pas jusqu'à 101 mais jusqu'à mu.
Et la dérivée de F(x) reste f(x) donc F'(mu) = f(mu) il me semble.

Bon courage

[Lili]

Bonsoir,

Donc pour exprimer g(mu) en fonction de F, on fait int(99,mu)?

Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lili,

Il me semble que j'ai répondu un peu vite à ta question hier.
Tu as \(F(x) = \int_{100}^{x}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt\) et \(g(\mu) = \int_{99-\mu}^{101-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt\), puisque \(Z = X - \mu\).
Comme la fonction\(\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, tu as : \(g(\mu) =2\times \int_{100}^{101-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt\) d'où \(g(\mu) = 2\times F(...)\).

Bonne continuation

[LILI]

Bonjour,

ESt ce que la dérivée de la question 3 était juste?
Pourquoi à la question 4, vous mettez 2x....?
Et pour la dérivée de g(mu) est ce qu'on utilise la dérivée de F(x)?

merci.

[SoS-Math(11)]

Re bonjour,

Pour la dérivée, tu as toujours \(F^,(x) = f(x)\) et tu dois calculer la dérivée de \(F^,(101-\mu)\). Pense que : \(F^,(ax+b) = aF^,(ax+b)\) et conclus, la dérivée que j'avais écrit à toute vitesse était erronée aussi.

L'intégrale est coupée en deux, de \(99-\mu\) à 100 et de 100 à \(101-\mu\) par symétrie de \(f\) on à les mêmes aires de par et d'autre de 0 donc on a deux fois l'un des deux morceaux.

Attention je n'avais pas remarqué que dans ton message il y avait pour la dérivée : (-x/√2π)e^-(x^2)/2 alors que c'est tout simplement \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\), il ne faut pas dériver \(f\).

Bonne continuation

[Lili]

Bonjour,

Pour la question 3 , il demande de faire la dérivée de F en fonction de f. Alors pourquoi doit on faire F'(101-mu)?
Pour la question 4 , g(mu)=2xF(101-mu)?

Merci.

[SoS-Math(11)]

Ok pour \(g(\mu)\).
Ici on cherche la dérivée de \(g(\mu)\) la variable est \(\mu\) et \(g(\mu) = F(101-\mu)\).

Bonne continuation

[LILI]

Bonjour,

Je ne comprends pas du tout pour la question 3 en plus j'ai beau rerelire mon cours et chercher je ne trouves pas.

merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour Lili,

Cette question (3) fait référence aux fonctions définies par une intégrale, c'est dans le chapitre sur l'intégration.
Par exemple on définit \(F\) sur\([a, b]\) par \(F(x)=\int_a^x{f(t)}dt\) pour \(f\) définie, positive et continue sur \([a, b]\) et pour \(x\in[a, b]\).
Cette fonction \(F\), est dérivable et admet pour dérivée \(f\) : \(F\) est donc la primitive de \(f\) qui s'annule pour \(x = a\).
Donc pour la question 3) la dérivée de F est définie par \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\).

Pour la question 4) tu as bien \(g(\mu) = \int_{99-\mu}^{101-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=\int_{99-\mu}^{100}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt + \int_{100}^{101-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt,\).
Ce qui donne : \(g(\mu) = -\int_{100}^{99-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt + \int_{100}^{101-\mu}\frac{1}{\sqrt 2\pi}e^{\frac{-t^2}{2}}dt=F(101-\mu)-F(99-\mu)\).

Dérive en fonction de \(\mu\) en utilisant le fait que \(f^,(ax+b)=af^,(ax+b)\).
Puis mets \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(101-\mu)^2}{2}}\) en facteur pour étudier le signe de la dérivée.

Bon courage pour cet exercice qui est bien calculatoire.

[LILI]

Bonjour,

Merci pour ces explications.
Pour la question 5, on utilise bien la dérivée de la question 3?

Merci.