Aire maximale d'un rectangle avec inconnu

[Louise]

Bonjour à tous et à toute!

Alors voilà, j'ai un DM à faire mais je bloque complètement sur l'exercice 2. C'est pourquoi je remercie toute personne qui acceptera de m'aider.

L'énoncé étant:
ABC est un triangle tel que AC=BC=5 et AB=8. I est le milieu de [AB].
M est un point de [AI], N est le point défini par le vecteur BN = le vecteur MA, P est le point de [AC] et Q le point de [BC] tels que MNPQ soit un rectangle.
Pour quelle position du point M l'aire du rectangle est-elle maximale? Comment varie l'aire du rectangle?

•A partir de l'énoncé, j'ai dessiné la figure. Ensuite je me suis demandé si il ne fallait pas trouver une fonction et faire un tableau de proportionnalité ou utiliser un quelconque théorème. J'ai essayé Thalès étant donné qu'il y a des parallèles mais je ne parviens à rien avec aucune de ces deux techniques. Il est fort probable que je m'y sois mal prit

•Du coup, j'ai déplacé le point M sur mon schéma et j'en ai tiré la conclusion que MNQP a une aire maximale quand [AM] = 2 cm et que l'aire du rectangle varie en faisant petit-> grand-> petit. Je n'arrive cependant pas à expliquer mon résultat.

Quelqu'un serait-il en mesure de m'aider?

[sos-math(20)]

Bonjour Louise,

Il va falloir effectivement construire une fonction.

Appelle x la longueur du segment [AM].
Tu dois alors évaluer l'aire du rectangle MNPQ en fonction de x : pour cela tu dois calculer les longueurs MN et MQ.
Pour calculer MN : utilise la figure.
Pour calculer MQ : commence par calculer IC (tu sais que le triangle ABC est isocèle en C et que I est le milieu de [AB] : le triangle AIC est donc rectangle); ensuite utilise le théorème de Thalès pour trouver MQ.

Lorsque tu auras l'expression de l'aire en fonction de x, tu n'auras plus qu'à utiliser les propriétés de la fonction obtenue pour répondre à la question.

Bon courage.

SOS-math