Bonjour,
j'ai une suite : Un+1= racine (2+Un) et Uo=2cos(x) avec x qui appartient à l'intervalle ]0;pi/2[.
Il faut que je démontre par récurrence que Un=2cos(x/2^n), c'est vrai pour Uo, je suppose vrai Un=2cos(x/2^n) et je cherche à savoir si c'est vrai pour Un+1 c'est à dire si Un+1= 2cos(x/2^(n+1)).
J'ai Un+1=racine(2+Un)
=racine (2 + 2cos(x/2^n))
Mais après, je suis bloquée, je ne sais pas vers où aller pour continuer... (l'exercice indique que l'on peut utiliser les formules de duplication mais comment se ramener à quelque chose comme cos(2a) ou cos²a?)
Meric d'avance!
étude d'une suite avec cosinus
-
SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: étude d'une suite avec cosinus
Bonjour Lauriane,
Tu sais que \(cos(2a) = 2cos^2(a) - 1\) d'où \(cos(a) = 2cos^2(\frac{a}{2}) - 1\) et \(cos(\frac{a}{2})={\sqrt{\frac{1+cos(a)}{2}}\)
Tu veux démontrer que \(u_{n+1}=2cos(\frac{x}{2^{n+1}})\) or \(2cos(\frac{x}{2^{n+1}})=2cos(\frac{1}{2}\times \frac{x}{2^n})\) donc en posant \(a=\frac{x}{2^n}\) tu devrais pouvoir y arriver.
Bon courage
Tu sais que \(cos(2a) = 2cos^2(a) - 1\) d'où \(cos(a) = 2cos^2(\frac{a}{2}) - 1\) et \(cos(\frac{a}{2})={\sqrt{\frac{1+cos(a)}{2}}\)
Tu veux démontrer que \(u_{n+1}=2cos(\frac{x}{2^{n+1}})\) or \(2cos(\frac{x}{2^{n+1}})=2cos(\frac{1}{2}\times \frac{x}{2^n})\) donc en posant \(a=\frac{x}{2^n}\) tu devrais pouvoir y arriver.
Bon courage
Re: étude d'une suite avec cosinus
ça marche!
Merci beaucoup!!!
Merci beaucoup!!!