DM suite(de Fibonacci)/récurrence T°S

[SoS-Math(9)]

Non Bastien !

\(\lim_{n \to +\infty}u_n=?\)

\(\lim_{n \to +\infty}u_{n+1}=?\)

\(\lim_{n \to +\infty}u_nu_{n+1}=?\)

\(\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{u_nu_{n+1}}=?\)

Répond à ces questions et ensuite tu pourras trouver la limite de V(n+1)-V(n).

SoSMath.

[Bastien]

En + l' infini:
lim Un = + l' infini
lim U(n+1) = + l'infini
lim UnU(n+1) = + l' infini
lim 1/(UnU(n+1)) = 0+

[SoS-Math(9)]

Bonjour Bastien,

tes réponses sont justes.
Maintenant avec un encadrement et le théorème d'encadrement sur les limites, tu vas pouvoir déterminer la limite en +inf de V(n+1)-V(n).
Voici un peu d'aide pour ton encadrement : pour tout n de IN, -1 <= (-1)^n <= 1.

Bon courage,
SoSMath.

[bastien]

Tout d'abord bonjour! ( excusez moi de ne pas l' avoir dis dans mon premier message de la journée mais j' ai vite répondu sans faire attention)
Pour tout n de IN,
-1 <= (-1)^n <= 1.
-1/UnU(n+1)<= (-1)^n / UnU(n+1) <= 1/UnU(n+1)
Comme lim -1/UnU(n+1) = lim 1/UnU(n+1) = 0+ alors d' après le théorème des gendarmes ( d' encadrement des limites):
lim (-1)^n / UnU(n+1)= 0+
donc lim V(n+1)-Vn = 0+
(toute limite quand n tend vers + inf )

[SoS-Math(9)]

C'est bien Bastien !

Bonne continuation,
SoSMath.

[bastien]

Merci beaucoup.
Je bloque sur ce calcul:
On pose Wn = V(2n-1) et Tn = V(2n)
Étudier le sens de variation de chacune des suites Wn et Tn.
J' ai fait:
W(n+1)-Wn = V(2n) - V(2n-1)
W(n+1)-Wn = [U(2n+2)/U(2n)] - [ U(2n)/U(2n-1)]
W(n+1)-Wn = ??

[SoS-Math(9)]

Bastien,

Encore un manque de rigueur ! Attention aux paranthèses ....

Wn = V(2n-1) donc W(n+1) = V(2(n+1)-1) = V(2n+1) et non V(2n) !!

SoSMath.

[bastien]

Donc:
W(n+1)-Wn = V(2n+1) - V(2n-1)
W(n+1)-Wn = [ U(2n+2) / U(2n+1)] - [ U(2n) / U(2n-1)]
W(n+1)-Wn = ??

[SoS-Math(9)]

Bastien,

C'est exact maintenant.
Il faut maintenant étudier le signe de W(n+1)-W(n) !
Pour cela, il faudra que tu utilises la question 2 : pour tout n de IN, Un >= n.

Bon courage,
SoSMath.

[bastien]

Je vois vraiment pas là...

[SoS-Math(9)]

Bastien,
voici un peu d'aide :

W(n+1)-Wn = V(2n+1) - V(2n-1)
W(n+1)-Wn = [ U(2n+2) / U(2n+1)] - [ U(2n) / U(2n-1)]
W(n+1)-Wn = \(\frac{u_{2n+2}u_{2n-1}-u_{2n}u_{2n+1}}{u_{2n+1}u_{2n-1}}\)

Reste à connaître son signe ....
On a vu que pout tout n, u(n) >=n, donc :
U(2n+2)U(2n-1) >= (2n+2)(2n-1) = 4n²+2n-2
U(2n)U(2n+1) >= 2n(2n+1) = 4n²+2n

Or 4n²+2n >= 4n²+2n-2
donc U(2n)U(2n+1) >= U(2n+2)U(2n-1)
donc U(2n+2)U(2n-1) - U(2n)U(2n+1) =< 0 (négatif)

Je te laisse trouver le signe de U(2n+1)U(2n-1) .

SoSMath.