Cadan

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caramel76

Cadan

Message par caramel76 » mer. 11 sept. 2019 16:57

Bonjour, je fais appel à vous parce que je suis complètement perdu ! Je ne comprends absolument rien ! Serait-il possible d'éclairer ma lanterne ?

Voici l'énoncé :
On considère (E): x^3=px+q dans laquelle l'inconnue est x, et p et q désignent des nombres réels.

1) Est-il possible que l'ensemble des solutions de (E) soit [-1;1] ? Justifier.
J'ai répondu : Non, ce n'est pas possible car si l'on prend 0, chiffre appartenant à cet intervalle nous obtenons 0= p0+q
0=0+q or ce n'est pas possible car q est ajouté or n'importe quel nombre ajouté à 0 hormis lui même est différent de 0. 0 est un contre exemple donc ce n'est pas possible.

2) On précise que quelque soit le nombre réel a, l'équation x^3=a d'inconnue x possède une seule solution réelle. Dans le cas où a est positif, on la note racine cubique de a (désolé je sais pas comment l'écrire ici). Les règles de calcul avec la racine sont celles de la racine carrée.

Cardan a montré que : si p>0, q>0 et D = (q/2)²-(p/3)² alors le réel X =(je vous le met en pièce jointe je n'arrive pas du tout à l'écrire) est une solution de l'équation (E) x^3=px+q

a) Développer (a+b)^3 puis X^3
J'ai fais :
(a+b)^3 = (a+b)² (a+b)
= (a²+b²+2ab) (a+b)
= a^3+3ab²+3a²b+b^3

En revanche pour X j'ai bien remplacé D par la valeur donné et tout mais pour le calcul...
Pouvez-vous m'aider svp ?
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SoS-Math(31)
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Re: Cadan

Message par SoS-Math(31) » mer. 11 sept. 2019 20:00

Bonjour caramel76,
1) x = 0 n'est solution que si q = 0.
2) Quelle est la question ? Je pense qu'il y a aussi un problème avec la pièce jointe.
caramel76

Re: Cardan

Message par caramel76 » jeu. 12 sept. 2019 10:03

bonjour voici l'enonce exact:
On considère (E): x^3=px+q dans laquelle l'inconnue est x, et p et q désignent des nombres réels.

1) Est-il possible que l'ensemble des solutions de (E) soit [-1;1] ? Justifier.
J'ai répondu : Non, ce n'est pas possible car si l'on prend 0, chiffre appartenant à cet intervalle nous obtenons 0= p0+q
0=0+q or ce n'est pas possible car q est ajouté or n'importe quel nombre ajouté à 0 hormis lui même est différent de 0. 0 est un contre exemple donc ce n'est pas possible.
je n'y comprends rien
merci de m'eclairer
caramel76

Re: Cadan

Message par caramel76 » jeu. 12 sept. 2019 10:12

et voici la seconde question
2) On précise que quelque soit le nombre réel a, l'équation x^3=a d'inconnue x possède une seule solution réelle. Dans le cas où a est positif, on la note racine cubique de a (désolé je sais pas comment l'écrire ici). Les règles de calcul avec la racine sont celles de la racine carrée.

Cardan a montré que : si p>0, q>0 et D = (q/2)²-(p/3)² alors le réel X =(je vous le met en pièce jointe je n'arrive pas du tout à l'écrire) est une solution de l'équation (E) x^3=px+q

a) Développer (a+b)^3 puis X^3
J'ai fais :
(a+b)^3 = (a+b)² (a+b)
= (a²+b²+2ab) (a+b)
= a^3+3ab²+3a²b+b^3

En revanche pour X j'ai bien remplacé D par la valeur donné et tout mais pour le calcul...
Pouvez-vous m'aider svp ?
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Bosseurardent76

Méthode de Cardan

Message par Bosseurardent76 » jeu. 12 sept. 2019 20:26

Bonjour, j'ai du mal avec une exercice et j'aurais besoin de votre aide ...
Voici l'énoncé : Peut-on utiliser la formule de Cardan pouur donner une solution exacte de l'équation x^3=3x+1 ? Justifier. Cette équation a t'elles des solutions réelles ? Justifier

J'ai mis :
Non, on ne peut pas utiliser la formule de Cardan pour trouver une solution exacte. Je n'ai aucune idée de la justification...
Pour la deuxième partie, je partierais sur :
x^3=3x+1
x^3-3x-1=0
Mais après comment je peux faire ?
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Re: Cadan

Message par sos-math(21) » ven. 13 sept. 2019 07:52

Bonjour,
êtes vous sûr(e) que l'on parle de l'intervalle [1;1] ? Cela ne semble pas cohérent pour une solution d'équation...
Je penserai plutôt à {1;1} et donc remplacer x par -1 puis par 1 :
- si x=1 est une solution, on a 1=p+q
- si x=1, est une solution, on a 1=p+q
En additionnant, on a q=0 et p=1
Par ailleurs, votre argument :
0=0+q or ce n'est pas possible car q est ajouté or n'importe quel nombre ajouté à 0 hormis lui même est différent de 0
n'est pas correct puisque q=0 permet d'avoir une égalité vraie : p et q sont des nombres réels sans qu'il n'y ait aucune condition sur eux, donc ils peuvent valoir 0.
Pour le reste, il faut effectivement calculer le cube de X et voir s'il est égal à pX+q.
Pour faciliter le travail, on vous a fait développer le cube d'une somme (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+(a+b)×3ab+b3
Si vous remplacez a par 3q2+D et b par 3q2D, cela doit fonctionner mais prenez bien la forme que je vous propose à la fin du développement du cube.
J'ai tout de même un doute sur l'expression de D : pouvez-vous vérifier ?
Bon calcul
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Re: Méthode de Cardan

Message par sos-math(21) » ven. 13 sept. 2019 07:57

Bonjour,
que vous a-t-on dit sur la formule de Cardan ? Quel est le contexte de l'exercice ? Y a -t-il d'autres questions avant celles-ci ?
Une seule question de manière abrupte sur la méthode de Cardan semble surprenante pour le niveau terminale...
Pour les formules de Cardan, il y a des conditions portant sur p et q, elles s'obtiennent par des calculs plutôt compliqués.
Précisez votre demande,
Bonne continuation
Bosseurardent76

Re: Méthode de Cardan

Message par Bosseurardent76 » ven. 13 sept. 2019 09:32

On nous donne : si p>0, q>0 et D = (q/2)²-(p/3)^3 >0 alors le réel X = (je vous le mets en pièce jointe je n'arrive pas à l'écrire) est une solution de l'équation x^3=px+q
Et avec ça on nous demande si on peut utiliser la formule de Cardan pour donner une solution exacte de l'équation x^3=3x+1 puis si cette équations a des solutions réelles.
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caramel76

Re: Cadan

Message par caramel76 » ven. 13 sept. 2019 09:36

Déjà merci, pour la question 1 j'ai trouvé grâce à la résolution d'un système. Ici, on nous dit que D= (q/2)²-(p/3)^3 >0
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Re: Méthode de Cardan

Message par sos-math(21) » ven. 13 sept. 2019 17:31

Bonjour,
j'ai fusionné le sujet avec un autre sujet portant sur la méthode de Cardan.
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Re: Cadan

Message par sos-math(21) » ven. 13 sept. 2019 17:34

Pour la suite, il faut bien remplacer x par l'expression donnée dans l'équation x3=px+q.
Le calcul est assez technique mais en y allant progressivement, on doit s'en sortir.
Bosseurardent76

Re: Cadan

Message par Bosseurardent76 » ven. 13 sept. 2019 19:28

Dommage de pas avoir eu votre réponse avant je viens de rendre ma copie ahaha, mais merci de l'aide ça m'aide à comprendre. Préparez vous, j'ai un autre dm tout frais que je vais attaquer ! x)
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Re: Cadan

Message par SoS-Math(9) » sam. 14 sept. 2019 08:49

Bon courage,
SoSMath.
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