exercise suite, recurrence
exercise suite, recurrence
Bonjour, j'ai un exercice de maths que j'ai du mal a finir et comprendre donc j'aimerais votre aide.
On considère la suite de nombres réels (Un) définie par :
Uo= -1 et U1= 1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)
1) Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2) On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier n :
Vn= Un+1-1/2(Un)
(a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(b) Exprimer Vn en fonction de n.
3)On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :
Wn= (Un/Vn)
(a) Exprimer Wn+1 en fontion de Un et Vn.
(b) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2.
(c) Exprimer Wn en fonction de n.
4)Démontrer que pour tout entier naturel n,
Un= (2n-1)/2puissance n.
Voici mes réponses:
1) j'ai trouver Un=3/4
pour vérifier si la suite est arithmétique:
U1-U0= 3/2
U2-U1=1/4
comme U1-U0est différent de U2-U1 la suite n'est pas arithmétique.
pour vérifier si la suite est géométrique:
U1/U0=-1/2
U2/U1=3/2
comme U1/U0 est différent de U2-U1, la suite n'est pas géométrique.
2)
(a)on cherche d'abord le premier terme qui est V0
donc V0=U1 -1/2U0
V0=1
puis on fait: Vn+1= Un+2 - 1/2Un+1
= (Un+1 - 1/4 Un) -1/2 (Un+1)
= 1/2 Un+1 - 1/4 Un
= 1/2 ( Un+1 - 1/2 Un)
= 1/2 Vn
la suite est géométrique de raison q=1/2 de 1er terme V0=1.
(b) Vn=V0 x q puissance n
= 1 x 1/2 puissance n
3)
(a) Wn+1= Un+1/ Vn+1
après ca je bloque un peu pour la suite du (a) et d (b) et (c)
4) je n'y arrive pas. Dois-je utiliser la recurrence?
merci de votre aide, bonne soirée.
On considère la suite de nombres réels (Un) définie par :
Uo= -1 et U1= 1/2 et , pour tout entier naturel n , Un+2=Un+1-1/4(Un)
1) Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2) On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier n :
Vn= Un+1-1/2(Un)
(a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/2
(b) Exprimer Vn en fonction de n.
3)On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :
Wn= (Un/Vn)
(a) Exprimer Wn+1 en fontion de Un et Vn.
(b) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2.
(c) Exprimer Wn en fonction de n.
4)Démontrer que pour tout entier naturel n,
Un= (2n-1)/2puissance n.
Voici mes réponses:
1) j'ai trouver Un=3/4
pour vérifier si la suite est arithmétique:
U1-U0= 3/2
U2-U1=1/4
comme U1-U0est différent de U2-U1 la suite n'est pas arithmétique.
pour vérifier si la suite est géométrique:
U1/U0=-1/2
U2/U1=3/2
comme U1/U0 est différent de U2-U1, la suite n'est pas géométrique.
2)
(a)on cherche d'abord le premier terme qui est V0
donc V0=U1 -1/2U0
V0=1
puis on fait: Vn+1= Un+2 - 1/2Un+1
= (Un+1 - 1/4 Un) -1/2 (Un+1)
= 1/2 Un+1 - 1/4 Un
= 1/2 ( Un+1 - 1/2 Un)
= 1/2 Vn
la suite est géométrique de raison q=1/2 de 1er terme V0=1.
(b) Vn=V0 x q puissance n
= 1 x 1/2 puissance n
3)
(a) Wn+1= Un+1/ Vn+1
après ca je bloque un peu pour la suite du (a) et d (b) et (c)
4) je n'y arrive pas. Dois-je utiliser la recurrence?
merci de votre aide, bonne soirée.
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- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: exercise suite, recurrence
bonsoir Amandine,
Ton travail est correct pour la question 1 et la question 2, pour la suite je ne pense pas qu'une récurrence soit nécessaire.
Il faut écrire bien entendu que wn+1=un+1vn+1
et utiliser les expressions précédentes pour trouver une expression avec un etvn.
Ensuite, il faut te souvenir d'une règle de calcul avec les fractions : A+BC=AC+BC
tu verras alors apparaître une simplification et tu retrouvera ce qu'il faut, c'est à dire 2+wn
Tu peux alors en déduire la nature de la suite wn et son expression en fonction de n.
Je te laisse continuer, en espérant t'avoir aidée
Ton travail est correct pour la question 1 et la question 2, pour la suite je ne pense pas qu'une récurrence soit nécessaire.
Il faut écrire bien entendu que wn+1=un+1vn+1
et utiliser les expressions précédentes pour trouver une expression avec un etvn.
Ensuite, il faut te souvenir d'une règle de calcul avec les fractions : A+BC=AC+BC
tu verras alors apparaître une simplification et tu retrouvera ce qu'il faut, c'est à dire 2+wn
Tu peux alors en déduire la nature de la suite wn et son expression en fonction de n.
Je te laisse continuer, en espérant t'avoir aidée
Re: exercise suite, recurrence
je trouve alors :
Wn+1= Vn +1/2(Un) /1/2Vn
soit Wn+1= 2+Un/Vn
Wn+1= 2+Wn
la suite est donc geometrique de raison 2
Wn+1= Vn +1/2(Un) /1/2Vn
soit Wn+1= 2+Un/Vn
Wn+1= 2+Wn
la suite est donc geometrique de raison 2
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- Enregistré le : ven. 20 juin 2014 15:58
Re: exercise suite, recurrence
Ok pour le calcul mais ta conclusion est fausse, la suite n'est pas géométrique.
(tu n'es pas loin de la bonne réponse, consulte ton cours)
à bientôt
(tu n'es pas loin de la bonne réponse, consulte ton cours)
à bientôt
Re: exercise suite, recurrence
oui, c'est vrai la suite est arithmétique de raison 2.
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Re: exercise suite, recurrence
Tout à fait. A partir de cette conclusion, tu peux exprimer Wn en fonction de n relativement simplement
Bonne suite de recherche.
Bonne suite de recherche.
Re: exercise suite, recurrence
bonjour, alors je calcule W0
qui donne W0= U0/V0
= -1/1=-1
on sais que la suite est arithmétique donc pour exprimer Wn en fonction de n : Wn=W0+nr
soit Wn= -1 + nx2
qui donne W0= U0/V0
= -1/1=-1
on sais que la suite est arithmétique donc pour exprimer Wn en fonction de n : Wn=W0+nr
soit Wn= -1 + nx2
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Re: exercise suite, recurrence
Bonsoir, oui c'est cela. Continue dans cette voie.
Re: exercise suite, recurrence
merci de votre aide, pour la question 4, comment dois-je m'y prendre ?
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: exercise suite, recurrence
Bonsoir Amandine,
tu sais que :
Vn= 1 x 1/2 puissance n
Wn= -1 + nx2
et Wn= (Un/Vn)
Avec cela tu dois pouvoir trouver l'expression de Un en fonction de n.
SoSMath.
tu sais que :
Vn= 1 x 1/2 puissance n
Wn= -1 + nx2
et Wn= (Un/Vn)
Avec cela tu dois pouvoir trouver l'expression de Un en fonction de n.
SoSMath.
Re: exercise suite, recurrence
j'isole Un donc
Un= Wn/Vn
Un= 2n-1/ 1x 1/2n
Un= 2n-1 / 2n
Un= Wn/Vn
Un= 2n-1/ 1x 1/2n
Un= 2n-1 / 2n
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Re: exercise suite, recurrence
Bonsoir,
je prends le sujet en cours de route mais si tu as wn=unvn alors c'est comme si tu avais wn1=unvn donc en faisant les produits en croix :
un×1=wn×vn donc un=wn×vn=(2n−1)×12n=2n−12n.
Bonne continuation
je prends le sujet en cours de route mais si tu as wn=unvn alors c'est comme si tu avais wn1=unvn donc en faisant les produits en croix :
un×1=wn×vn donc un=wn×vn=(2n−1)×12n=2n−12n.
Bonne continuation
Re: exercise suite, recurrence
bonsoir,
mais Vn est de la forme Vn=(1/2) puissance n
donc je me retrouve avec: Un = (2n-1)x (1/2)puissance n
mais Vn est de la forme Vn=(1/2) puissance n
donc je me retrouve avec: Un = (2n-1)x (1/2)puissance n
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- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: exercise suite, recurrence
Bonjour Amandine,
Je prends moi aussi le sujet en cours de discution mais si wn=unvn et que tu as trouvé wn=−1+2n alors un=(−1+2n)vn = (-1 + 2n) (12)n=(−1+2n)12n
Ensuite A1B =AB donc (-1+2n) 1(2)n=−1+2n2n
Je prends moi aussi le sujet en cours de discution mais si wn=unvn et que tu as trouvé wn=−1+2n alors un=(−1+2n)vn = (-1 + 2n) (12)n=(−1+2n)12n
Ensuite A1B =AB donc (-1+2n) 1(2)n=−1+2n2n