J'ai des difficultés avec les questions suivantes d'un exercice, pour un module d'approfondissement de maths de Terminale qui vient de débuter :
Dans cet exercice, on admet que 1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n²(n+1)²]/4. Le but de cet exercice est de déterminer toutes les relations du type :
(e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3=(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3. e0, e1, e2, ..., e2n sont des entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant.
Cette relation est la relation (A).
1. On définit e0, e1, e2n des entiers naturels consécutifs rangés dans l'ordre croissant vérifiant la relation (A).
a. Exprimer (e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 et (en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3 en fonction de e0 et de n.
b. Montrer que f(e0) = 0, avec f la fonction polynomiale suivante et n un entier naturel non nul fixé :
f : x -> x^3 - 3n²*x² - 3 n² (2n+1) x - \(\frac{n²(7n²+6n+1)}{2}\)
2. a. Dresser le tableau des variations de la fonction f en précisant les signes des extrema.
b. Soit a indice n l'entier n(3n+2). Déterminer le signe de f(a indice n) et celui de f(a indice n +1).
c. Conclure.
Voici ce que j'ai fait :
Pour la question 1.a :
J'ai dit cela : e1=e0 + 1 ; e2=e0 + 2 ; en=e0 + n;
En recherchant sur Internet l'identité remarquable du cube, j'ai écrit cela :
(e0+1)^3=(e0)^3+ + 3*e0*1² + 3*(e0)²*1+1^3.
(e0+2)^3=(e0)^3+ + 3*e0*2² + 3*(e0)²*2+2^3.
Donc, on remarque que l'on a l'égalité suivante :
(e0)^3+(e1)^3+(e2)^3+...+(en)^3 = (n+1) * (e0)^3 + [n(n+1)(2n+1)]/6 * 3 e0 + [n(n+1)]/2 * 3 (e0)² + [n²(n+1)²]/4.
Pour la deuxième partie de la question 1.a, j'ai raisonné sur le même principale, mais pour calculer (a+b)^3, je n'ai plus pris a=e0, mais plutôt a=e0+n.
En effet, peut-on dire que en+1=e0 + n + 1 ?
Si c'est vrai, voici ce que j'ai trouvé :
(en+1)^3+(en+2)^3+...+(e2n)^3=n*(e0+n)^3 + 3 (e0+n) * [n(n+1)(2n+1)]/6 + 3 (e0+n)² * [n(n+1)]/2 + [n²(n+1)²]/4.
Néanmoins, j'ai un problème avec le dernier terme en rouge, qui correspond à la somme des premiers cubes, donc on utilise la formule donnée par l'énoncé, mais j'ai un problème avec le nombre de termes de cette somme : le e indice 2n me perturbe car je n'arrive pas à savoir s'il faut mettre 2n ou n à la place de n dans la somme des premiers cubes... Si on applique la formule pour connaître le nombre de termes d'une somme "n-p+1", on a donc "2n-(n+1)+1" termes dans cette somme, c'est-à-dire n termes, donc on aurait le dernier terme en rouge dans la somme ci-dessus, mais cela me paraît étrange...
Alors qu'est-ce qui est juste ?
1.b. J'ai essayé de remplacer x par e0, mais je n'aboutis à rien, cela ne donne pas 0... Comment faire ?
2.a. Pour cela, il suffit de dériver la fonction, et voici en image le tableau de variations que j'ai obtenu.
- tableau de variations.png (5.27 Kio) Vu 5573 fois
Je vous remercie d'avance beaucoup pour votre aide, j'en ai vraiment besoin et j'ai mis du temps à taper ce long message...
Bonne après-midi.