suite de fibonacci
suite de fibonacci
Bonsoir,
Je fais un exercice sur les suites de Fibonacci et je bloque à la récurrence de la question 2.
Voici ce que j'ai commencé.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
Je fais un exercice sur les suites de Fibonacci et je bloque à la récurrence de la question 2.
Voici ce que j'ai commencé.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
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Re: suite de fibonacci
Bonsoir Thomas,
Pour l'hérédité de ta récurrence, ton hypothèse est : \(u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2=(-1)^n\).
Donc il faut montrer que \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=(-1)^{n+1}\).
Commence alors par calculer \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=...\).
Il faudra utiliser le fait que \(u_{n+2}=u_{n+1} + u_{n}\) et \(u_{n+1}=u_{n} + u_{n-1}\).
SoSMath.
Pour l'hérédité de ta récurrence, ton hypothèse est : \(u_{n+1}u_{n-1} - u_{n}^2=(-1)^n\).
Donc il faut montrer que \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=(-1)^{n+1}\).
Commence alors par calculer \(u_{n+2}u_{n} - u_{n+1}^2=...\).
Il faudra utiliser le fait que \(u_{n+2}=u_{n+1} + u_{n}\) et \(u_{n+1}=u_{n} + u_{n-1}\).
SoSMath.
Re: suite de fibonacci
Bonjour,
J'ai remplacé les expressions mais je ne vois pas comment continuer.
Voici ce que j'ai fait.
J'ai remplacé les expressions mais je ne vois pas comment continuer.
Voici ce que j'ai fait.
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Re: suite de fibonacci
Bonsoir,
on utilise la relation de récurrence de la suite \(u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\) puis développer et voir ce qui peut s'arranger :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=(u_{n+1}+u_n)u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_n^2-u_{n+1}^2\)
Or par hypothèse de récurrence, on a \(u_{n+1}u_{n-1}-u_n^2=(-1)^n\) donc \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}-(-1)^n\) ce que l'on peut écrire \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}\) donc en remplaçant dans l'expression de départ :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2\)
Il reste à factoriser par \(u_{n+1}\) (les deux premiers termes) et refaire fonctionner la relation de récurrence de la suite : on aura deux termes qui vont s'annuler et il ne restera que \((-1)^{n+1}\) ce qui prouvera l'égalité au rang \(n+1\).
Bon courage
on utilise la relation de récurrence de la suite \(u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\) puis développer et voir ce qui peut s'arranger :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=(u_{n+1}+u_n)u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_n^2-u_{n+1}^2\)
Or par hypothèse de récurrence, on a \(u_{n+1}u_{n-1}-u_n^2=(-1)^n\) donc \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}-(-1)^n\) ce que l'on peut écrire \(u_n^2=u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}\) donc en remplaçant dans l'expression de départ :
\(u_{n+2}u_n-u_{n+1}^2=u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2\)
Il reste à factoriser par \(u_{n+1}\) (les deux premiers termes) et refaire fonctionner la relation de récurrence de la suite : on aura deux termes qui vont s'annuler et il ne restera que \((-1)^{n+1}\) ce qui prouvera l'égalité au rang \(n+1\).
Bon courage
Re: suite de fibonacci
Bonjour,
Je comprends votre démarche, mais je ne vois pas comment factoriser.
Voici ce que j'ai fait.
Merci d'avance de votre aide.
Je comprends votre démarche, mais je ne vois pas comment factoriser.
Voici ce que j'ai fait.
Merci d'avance de votre aide.
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Re: suite de fibonacci
Thomas,
voici la factorisation : \(u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2 = u_{n+1}(u_n+u_{n-1}-u_{n+1})+(-1)^{n+1}\).
Or \(u_{n+1} =u_n+u_{n-1}\) ….
Je te laisse terminer.
SoSMath.
voici la factorisation : \(u_{n+1}u_n+u_{n+1}u_{n-1}+(-1)^{n+1}-u_{n+1}^2 = u_{n+1}(u_n+u_{n-1}-u_{n+1})+(-1)^{n+1}\).
Or \(u_{n+1} =u_n+u_{n-1}\) ….
Je te laisse terminer.
SoSMath.
Re: suite de fibonacci
Bonjour,
J'ai essayé de factoriser, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct ...
Pouvez-vous me corriger ?
Merci d'avance.
J'ai essayé de factoriser, mais je ne suis pas sûr que ce soit correct ...
Pouvez-vous me corriger ?
Merci d'avance.
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Re: suite de fibonacci
Tout a été détaillé dans les messages de mes collègues.
Ceci rectifie l'incohérence entre les 1ère et 2ème lignes de ce qui suit. Quand tu passes de la 2ème à la 3ème ligne, la relation de récurrence n'est pas à utiliser dans le premier facteur (il faudrait d'ailleurs des parenthèses autour de \(u_{p}+u_{p-1}\) pour que ce soit correct dans la 3ème ligne) mais dans la parenthèse où il me semble (on ne voit pas très bien ta feuille même en zoomant) qu'en passant de la 2ème à la 3ème ligne, un indice p-1 s'est transformé en p+1...). C'est la parenthèse qui va alors s'annuler.
Essaie de reprendre cela. Tous les éléments de réponse t'ont été donnés.
SoSMath
Quand tu passes de la première ligne à la deuxième, tu soustrais \((-1)^{p}\). Donc dans la deuxième ligne il devrait y avoir \(-(-1)^{p}\) ce qui est égal à \(+(-1)^{p+1}\).Ceci rectifie l'incohérence entre les 1ère et 2ème lignes de ce qui suit. Quand tu passes de la 2ème à la 3ème ligne, la relation de récurrence n'est pas à utiliser dans le premier facteur (il faudrait d'ailleurs des parenthèses autour de \(u_{p}+u_{p-1}\) pour que ce soit correct dans la 3ème ligne) mais dans la parenthèse où il me semble (on ne voit pas très bien ta feuille même en zoomant) qu'en passant de la 2ème à la 3ème ligne, un indice p-1 s'est transformé en p+1...). C'est la parenthèse qui va alors s'annuler.
Essaie de reprendre cela. Tous les éléments de réponse t'ont été donnés.
SoSMath
Re: suite de fibonacci
Bonsoir,
J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'arrive toujours pas à finir ma récurrence.
Voici ce que j'ai fait.
J'ai essayé de suivre vos remarques, mais je n'arrive toujours pas à finir ma récurrence.
Voici ce que j'ai fait.
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: suite de fibonacci
Bonjour Thomas,
Il faut calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\) et montrer que tu trouves \((-+1)^{p+1}\)
Pourquoi calcules-tu \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2\) ?
Recommence tes calcules !
SoSMath.
Il faut calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\) et montrer que tu trouves \((-+1)^{p+1}\)
Pourquoi calcules-tu \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2\) ?
Recommence tes calcules !
SoSMath.
Re: suite de fibonacci
Bonjour,
Excusez moi, mais j'ai l'impression que vous ne me dîtes jamais la même chose.
Avant une partie de ma récurrence était faute, maintenant c'est la récurrence entière ?
De plus, je pense suivre ce qui m'a été dit le dimanche 3 Juin 2018 à 10:03 ?
Excusez moi, mais j'ai l'impression que vous ne me dîtes jamais la même chose.
Avant une partie de ma récurrence était faute, maintenant c'est la récurrence entière ?
De plus, je pense suivre ce qui m'a été dit le dimanche 3 Juin 2018 à 10:03 ?
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: suite de fibonacci
Thomas,
le 3 Juin 2018, je répondais à ta demande de factorisation .... et non sur la récurrence !
De plus, je n'ai pas dit que ta crécurrence était entièrement fausse ...
Il faut simplement faire le bon calcul dans l'hérédité ....
Ton hypothèse de récurrence est \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2=(-1)^n\).
Il faut alors calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\), pour trouver \((-1)^{n+1}\).
Je te rappelle que \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).
SoSMath.
le 3 Juin 2018, je répondais à ta demande de factorisation .... et non sur la récurrence !
De plus, je n'ai pas dit que ta crécurrence était entièrement fausse ...
Il faut simplement faire le bon calcul dans l'hérédité ....
Ton hypothèse de récurrence est \(u_{p+1}u_{p-1}-u_{p}^2=(-1)^n\).
Il faut alors calculer \(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2\), pour trouver \((-1)^{n+1}\).
Je te rappelle que \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).
SoSMath.
Re: suite de fibonacci
Bonjour,
J'ai tout supprimé, pour mieux recommencer.
Voici où je bloque !
J'ai tout supprimé, pour mieux recommencer.
Voici où je bloque !
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: suite de fibonacci
Thomas,
voici le début du calcul :
\(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2 = (u_{p+1}+u_{p})u_{p}-u_{p+1}^2\) car \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).
= \(u_{p+1}u_{p} + u_{p}^2 - u_{p+1}^2 = u_{p+1}(… - …) + u_{p}^2 =...\)
Je te laisse terminer.
Je te rappelle que
voici le début du calcul :
\(u_{p+2}u_{p}-u_{p+1}^2 = (u_{p+1}+u_{p})u_{p}-u_{p+1}^2\) car \(u_{p+2}=u_{p+1}+u_{p}\).
= \(u_{p+1}u_{p} + u_{p}^2 - u_{p+1}^2 = u_{p+1}(… - …) + u_{p}^2 =...\)
Je te laisse terminer.
Je te rappelle que